Parametrizzazione nastro di Moebius.

[3m0o]

C'è un ambiguita di lingua e non capisco com'è definita la funzione \(f \).
Sia \(R \) il rettangolo \( I \times I \) e \( \sim \) la relazione d'equivalenza definita per \( (s,t) \sim (s',t') \) se e solo se \( (s,t)=(s',t') \) oppure \( s= 0, s'=1 \) e \( t=1-t' \). Dimostra che lo spazio quoziente è il nastro di Moebius.

Scegliamo una parametrizzazione del nastro di Moebius in \(\mathbb{R}^3 \), "la sua anima" si trova su un cerchio di raggio \(2 \) nel piano \(Oxy \) centrato all'origine. Un punto di questo cerchio è descritto da un angolo \(\alpha \). Per ciascun punto passa un segmento di lunghezza \(1 \) che lo taglia nel suo centro. Questo segmento fa un angolo \( \beta \) con la verticale e indicheremo infine con \(h \) la posizione del punto su questo segmento orientato, compreso tra \(0 \) e \(1 \).

Definiamo una funzione \(f \) su \(R \) associanto gli angoli \( \alpha(s,t)=2\pi s \) e \( \beta(s,t)=\pi s \), \(h(s,t)=t \). Questa funzione è suriettiva e passa al quoziente poiché \( \alpha(0,t)=0 \equiv 2\pi = \alpha(1,t) \). E gli angoli \( \beta(0,t)=0 \) \( \beta(1,t)=\pi \) indicano che con \(s=0 \) il segmento verticale è orientato dal basso verso l'alto e con \( s=1 \) il segmento è orientato dall'alto verso il basso e dunque i punti \((0,t) \) e \((1,1-t) \) sono dunque inviati allo stesso punto di \( \mathbb{R}^3 \).
Dunque esiste \( \bar{f}:R/\sim \to \{nastro di Moebius\} \) biiettiva da uno spazio compatto siccome quoziente di uno spazio compatto verso uno spazio separato ed è dunque un omeomorfismo.

Mi domandavo se la funzione \(f \) è tale che \( (s,t) \mapsto ( \alpha(s,t) , \beta(s,t) , h(s,t) ) \) (e in questo caso non ho nessun dubbio) oppure se la funzione \(f \) è della forma \[ f(s,t) = ( x_1( \alpha(s,t) , \beta(s,t) , h(s,t) ), x_2( \alpha(s,t) , \beta(s,t) , h(s,t)),x_3( \alpha(s,t) , \beta(s,t) , h(s,t))) \]
(spero di non aver dimenticato parentesi)
dove \( x_1 ,x_2,x_3\) sono una parametrizzazione delle coordinate \(x,y,z \) che non ha specificato. Se fosse quest'ultimo caso per dimostrare che \( f \) passa al quoziente non dovrebbe verificare che \( x_i( \alpha(0,t) , \beta(0,t) , h(0,t))= x_i( \alpha(1,1-t) , \beta(1,1-t) , h(1,1-t)) \), cosa che potrebbe non essere verificata a priori. E inoltre se fosse quest'ultimo caso come fa a dire che \( f \) è suriettiva?

In entrambi i casi non capisco come faccia a dire che \( \bar{f} \) è biiettiva

[apatriarca]

Quelli che vengono descritti sono angoli, non coordinate cartesiane in \(\mathbb R^3\). La superficie a cui fa riferimento in \(\mathbb R^3\) è in effetti uguale a (a meno di qualche errore di scrittura)
\[
\begin{align*}
(s, t) \mapsto \biggl(&\Bigl(2 - \bigl(h(s, t) - 1/2\bigr)\sin\,\bigl(\beta(s, t)\bigr)\Bigr)\cos\,\bigl(\alpha(s, t)\bigr), \\
& \Bigl(2 - \bigl(h(s, t) - 1/2\bigr)\sin\,\bigl(\beta(s, t)\bigr)\Bigr)\sin\,\bigl(\alpha(s, t)\bigr), \\
&\bigl(h(s, t) - 1/2\bigr)\cos\,\bigl(\beta(s, t)\bigr) \biggr)
\end{align*}
\]
La costruzione è descritta nel tuo testo: prendi un cerchio di raggio \(2\) in Oxy e ad ogni suo punto (che forma un angolo \(\alpha\) rispetto a \(x\)) fai crescere un segmento di lunghezza \(1\) centrato nel punto iniziale e che forma un angolo \(\beta\) rispetto a \(z\) e la cui proiezione su Oxy forma un angolo \(alpha\) rispetto a \(x\). In effetti gli angoli non sono scelti in modo indipendente, ma \(\alpha = 2\,\beta\). Dopo una rotazione di \(\alpha = 2\,\pi\) la direzione del segmento è insomma parallela a quella di \(\alpha = 0\) ma la direzione è quella inversa.

Ad ogni punto della superficie corrisponde un singolo valore di \(\alpha \in [0, 2\,\pi)\) e \(h \in [0, 1]\) per costruzione. La mappa è certamente suriettiva essendo questi insiemi compresi nell'immagine di \(R\). La mappa è inoltre compatibile con il quoziente perché punti che sono equivalenti nel quoziente hanno la stessa immagine. E' infine certamente iniettiva (nel quoziente) in quanto gli unici punti che hanno più di una controimmagine sono stati resi equivalenti nel passaggio al quoziente. Quindi la mappa è biettiva. In effetti non è difficile trovare una funzione inversa (almeno pensando al problema dal punto di vista geometrico e non passando dalla formula sopra).

Nota che \((s, t) \mapsto \bigl(\alpha(s, t), \beta(s, t), h(s, t)\bigr)\) non è compatibile con il quoziente. E' semplicemente un quadrato in \(\mathbb R^3\) e certamente \((0, 0, t) \neq (2\,\pi, \pi, 1 - t)\)

[3m0o]

\[ \begin{align*} (s, t) \mapsto \biggl(&\Bigl(2 - \bigl(h(s, t) - 1/2\bigr)\sin\,\bigl(\beta(s, t)\bigr)\Bigr)\cos\,\bigl(\alpha(s, t)\bigr), \\ & \Bigl(2 - \bigl(h(s, t) - 1/2\bigr)\sin\,\bigl(\beta(s, t)\bigr)\Bigr)\sin\,\bigl(\alpha(s, t)\bigr), \\ &\bigl(h(s, t) - 1/2\bigr)\cos\,\bigl(\beta(s, t)\bigr) \biggr) \end{align*} \]

Ahh okay, io infatti ero perplesso ma non riuscivo a trovare la parametrizzazione corretta. Grazie.
Però \( (0,0,t) = (2 \pi , \pi , 1-t ) \) perché il segmento è orientato sul cerchio un angolo di \(0\) o di \( 2 \pi \) ti mette nella stessa posizione, mentre un angolo \( 0 \) o \( \pi \) rispetto alla verticale ti posizione in modo verticale con orientazione opposte e quindi la distanza \( t \) e \( 1- t \) coincidono, no?

Quindi \( f= q \circ \bar{f} \) abbiamo che in quanto \(q \) è suriettiva e \( f \) biettiva segue che \(\bar{f} \) è biiettiva ?