Sia $X$ un sottoinsieme di uno spazio vettoriali $V$ sul campo $K$. Sia $V(X)$ l'insieme costituito dai sottospazi vettoriali contenenti $X$.
Definizione: Si definisce sottospazio generato da $X$, l'intersezione degli elementi di $V(X)$.
In simoboli
$<X>\ = \ bigcap_(U in V(X))U.$
Caratterizzazione: Sia $U$ sottospazio vettoriale risulta :
$U \=\ <X> \ <=> $ \(\displaystyle \begin{cases} 1) U\ \mbox{sottospazio vettoriale contenente}\ X \\ 2) U\ \mbox{contenuto in ogni sottospazio vettoriale contenente}\ X \end{cases} \)
Devo dimostrare che risulti $U+W=<U cup W>$ con $U,W$ sottospazi vettoriali.
Seguendo la caratterizzazione devo far vedere:
1) $U subseteq U+W$ e $W subseteq U+W,$ quindi $UcupW subseteq U+W,$
2) $U subseteq A$ dove $A$ sottospazio vettoriali contenente $U cup W.$
Per definizione risulta
$<U cup W> \=\ bigcap_(Y in V(U cup W))Y$
Per la definizione di $V(U cup W)$ risulta:
$U subseteq U cup W subseteq Y$, con sia $(Y in bigcap_(Y in V(U cup W))Y) \ to U subseteq U+W $
$W subseteq U cup W subseteq Y$, con sia $(Y in bigcap_(Y in V(U cup W))Y) \ to W subseteq U+W $
quindi $U cup W subseteq U+W$Invece per il punto 2) sia $A$ tale che $U cup W subseteq A$ per definizione abbiamo $ A in bigcap_(Y in V(U cup W))Y $ allora $U+W subseteq A$
Ciao