Dimostrazione di un lemma sui determinanti

[GN00Fu]

Ringrazio in anticipo chiunque voglia aiutarmi.

Sto seguendo il mio primo corso di algebra lineare ed il libro (Lezioni di Geometria I di Ferruccio Orecchia) riporta una dimostrazione di un lemma di base che mi sta mettendo in crisi. Di seguito il lemma ed il punto della dimostrazione che non riesco a comprendere:

"Sia A una matrice di Mn(K), n>= 2. Se si scambiano due righe (due colonne) di A si ottiene una matrice B tale che det(B) = -det(A)."

Il punto della dimostrazione che non riesco a comprendere (non riporto il resto della dimostrazione poiché non credo sia utile, ma se lo ritenete necessario vi prego di farmelo notare):

"Onde è sufficiente provare che, scambiando la prima con la seconda riga di A, si ha una matrice B tale che det(B) = -det(A). Si ha

$ det(A) = \sum_{j = 1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}A_{1j} $

e

$ det(B) = \sum_{r = 1}^{n} (-1)^{1+r}a_{2r}B_{1r} $ .

Applicando la definizione di determinante ad A1j e B1r, si ha

$ det(A) = \sum_{j<r}(-1)^{1+j}(-1)^{r}a_{1j}a_{2r}M_{jr} + \sum_{r<j}(-1)^{1+r}(-1)^{1+j}a_{1j}a_{2r}M_{jr} $

e

$ det(B) = \sum_{r<j} (-1)^{1+r}(-1)^{j}a_{2r}a_{1j}M_{jr} + \sum_{r<j} (-1)^{1+r}(-1)^{1+j}a_{2r}a_{1j}M_{jr} $

dove Mjr è il determinante della matrice ottenuta cancellando le prime due righe e le due colonne di indice r,j di A."

La mia difficoltà maggiore è ottenere le ultime espressioni dei determinanti a partire dalle prime. Ho provato varie volte ma non riesco a capire questo tipo di "decomposizione" in due somme che sfrutta l'autore. Potreste aiutarmi?

[solaàl]

Scambiare le righe $i$ e $j$ in $A$ significa moltiplicare a sinistra (o a destra, controlla tu) $A$ per una matrice $P$ di permutazione https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation_matrix
Il determinante è moltiplicativo, e allora il determinante di $A$ con righe scambiate è $\det(A)\det(P) = -\det(A)$

[solaàl]

Aggiungo che più in generale una matrice di permutazione ha per determinante il segno della permutazione stessa; col che, e col teorema di Binet, trovi che il determinante vede lo scambio di righe e di colonne tenendo conto del segno, e la permutazione di righe e di colonne anch'essa a meno del segno.

[GN00Fu]

Scusate avevo dimenticato di aggiornare il post, alla fine sono riuscito ad ottenere la decomposizione di cui sopra. Grazie mille per l'aiuto.