Funtorialità

[3m0o]

Sia \( \mathcal{C}_* \) l'insieme di tutte le applicazioni continue e puntate. Sia \( f: (X,x_0) \to (Y,y_0) \) un'applicazione puntata. Dimostra che per tutti gli spazi puntati \( (A,a_0) \) l'applicazione indotta per composizione \( f_* : \mathcal{C}_*(A,X) \to \mathcal{C}_*(A,Y) \) passa al quoziente e definisce un'applicazione \( f_* : [A,X]_* \to [A,Y]_* \), dove \( [A,X]_* \) è l'insieme dei classi d'omotopie puntate.

Io ho pensato di fare così.

Sia \( f: X \to Y \) tale che \( f(x_0) = y_0 \) un'applicazione puntata e \( u \simeq v \) due applicazioni omotope nel senso puntato.
Allora definisco \( f_* : \mathcal{C}_*(A,X) \to \mathcal{C}_*(A,Y) \)
\[ u \mapsto f_*(u) =f \circ u \]
E definisco \( f_* : [A,X]_* \to [A,Y]_* \)

\[ [u]_* \mapsto f_*([u]_*) = [f \circ u]_* \]
ora siccome \(u,v: A \to X \) sono applicazioni continue puntate ed omotope nel senso puntato abbiamo che esiste \( H: A \times I \to X \) tale che \( H(a,0)=u(a) \), \(H(a,1)=v(a) \) e \( H(a_0,t) = x_0 \) per ogni \( t \in I \).
Risulta dunque che
\[ (f \circ H)(a,0)=f(H(a,0))=(f \circ u)(a) \]
e
\[ (f \circ H)(a,1)=f(H(a,1))=(f \circ v)(a) \]
e
\[ (f \circ H)(a_0,t)=f(H(a_0,t))=f(x_0)=y_0 \]
Ora abbiamo quindi che
\[ f \circ H : A \times I \to I \]
è un omotopia puntata tra \( f \circ v , f \circ u : A \to Y \), continue e puntate, inoltre stanno nella stessa classe di omotopie dunque \( f_* \) passa al quoziente.

Vi sembra corretto?

[j18eos]

Non vedo errori;

ma vedo Hu - Homotopy Theory!?

[3m0o]

OK grazie!
Ma cos'è Hu - Homotopy Theory?

[solaàl]

Un (retrodatato, direi) libro di topologia algebrica.

[j18eos]

Un vecchio libro di teoria dell'omotopia, molto bene fatto a dire il vero;

fu lì che appresi un bel po' di nozioni di omotopia e dintorni, ed è l'unica fonte in cui capii perché l'abelianizzazione del primo gruppo di omotopia è il primo gruppo di omologia singolare.

[3m0o]

Il punto dopo è di dimostrare che dati \(f,g : (X,x_0) \to (Y,y_0) \) due applicazioni puntate ed omotope (nel senso puntato), allora dimostrare che per tutti gli spazi \( (A,a_0) \) le applicazioni indotte \( f_* , g_* : [A,X]_* \to [A,Y]_* \) sono uguali.

Allora siccome \( f \simeq g \) nel senso puntato abbiamo che è equivalente a dire che esiste un'applicazione continua \( H : X \wedge I_+ \to Y \) tale che \( H(x,0)=f(x) \) e \( H(x,1)=g(x) \), dove \(A \wedge B \) rappresenta lo smash product tra \(A \) e \(B \) e \( \cdot_+ : \mathbf{Top} \to \mathbf{Top}_* \) è il funtore di aggiungere un punto disgiunto. Quindi \( I_+ = I \cup \{ \infty \} \).
Ora fissiamo \( u : A \to X \) un applicazione puntata, voglio dimostrare che \( f_* u \simeq g_* u \), e questo dimostrerebbe che \( g \circ u \in [ f \circ u]_* \) e \(f \circ u \in [g \circ u]_* \) e dunque che \( f_* = g_* \). Giusto?
Ora se dimostro che il diagramma seguente è commutativo allora ho dimostrato che \( f_* u \simeq g_* u \), ma come faccio a dimostrare che il diagramma in questo è commutativo?

dove \(i \) e \(j \) sono le inclusioni.

[solaàl]

Un diagramma è commutativo se ogni suo sottodiagramma è commutativo. In questo caso, i due quadrati, sopra e sotto, e i due triangoli.

[3m0o]

In questo caso i due quadrati è evidente che siano commutativi, ma i due triangoli? Come faccio a dimostrarlo? Perché \( f_* u \circ j = H \) ? non lo vedo.

[solaàl]

Invece di $f_*u$ e $g_*u$ va scritto $f$ e $g$...

[3m0o]

Ci avevo pensato anche io ma dopo dimostrerei che \( f \simeq g \) che è già nelle ipotesi.

Edit: a meno che \( f_* u = f \circ u \) e quindi è rappresentato dalla grande freccia superiore che parte da \( A \) e poi è composta da \(X \). In quel caso siccome i quadrati e i triangoli sono commutativi allora fare \( f_* u = f \circ u \) è uguale che fare \( g_* u = g \circ u \).