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[ProPatria]

Ciao. l'esercizio in cui mi serve una mano è questo:

Sia V un F-spazio vettoriale e sia U sottospazio di V. Dimostra che esiste un sottospazio W di V tale che:
$ Uo+_iW=V $ ,
dove $ o+_i $ è l'operatore di somma diretta interna.

Vi propongo uno svolgimento, potete controllare se è giusto?

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Sia $B_V$ base di $V$ e $B_U$ base di $U$ che esistono per l'esistenza delle basi.
Voglio "trasformare" $B_U$ in modo da avere una base di $U$ che chiamo $tilde(B_U) t.c. tilde(B_U)subeB_V$.
allora definisco $tilde(B_U)={vinB_V|u=lamda*v+lamda_1*v_1+...+lamda_n*v_n$ per opportuni $lamda, lamda_iinF, uinB_U, v_iinB_V}$.
A questo punto verifico che $ tilde(B_U) $ è base:
$tilde(B_U)$ genera $U$ segue dalla definizione di $tilde(B_U)$ e dal fatto che $B_U$ è base di $U$;
$tilde(B_U)$ è linearmente indipendente segue da $tilde(B_U)subeB_V$.
A questo punto prendo $W=Span(B_V\\tilde(B_U))$
la verifica che un tale $W$ verifica la tesi con $U$ la tralascio.
Grazie per aver letto fin qui

[ProPatria]

Grazie per la risposta, allora proseguo:

Voglio provare che $Span(B_V\\tilde(B_U)) nnU ={0}$:
$Span(B_V\\tilde(B_U))$ lo chiamo $W$. $0in(WnnU)
$ poiché sono entrambi spazi vettoriali. Se per assurdo avessi $0≠x in(WnnU)$ allora $x$ si può scrivere come combinazione lineare di vettori in $B_V\\tilde(B_U)$ ma anche di vettori in $tilde(B_U)$, contraddicendo l'indipendenza lineare di $B_V$.
Ora voglio provare che $W+U=V$, ma questo è ovvio poiché $W$ e $U$ contengono rispettivamente $B_V\\tilde(B_U)$ e $tilde(B_U)$, dunque $W+U$ è uno spazio vettoriale che contiene $B_V$ e al contempo è sottospazio di $V$.

[ProPatria]

Ora voglio provare che $W+U=V$, ma questo è ovvio

Abbi pazienza: hai dimostrato l'ovvio (anche usando una notazione un po' troppo pesante, a mio modo di vedere) e quando arrivi al punto cruciale dici che è ovvio.
Non dico che sia difficile, ma il punto è: possono tutti i vettori $v$ di $V$ essere scritti in modo unico come $v=u+w$, dove $u\in U$ e $w\in W$?

Capisco cosa intendi ma non mi sembrava quello il punto cruciale... Provo a riformularlo:
Ogni vettore $v$ in $V$ posso esprimerlo come $v=u+w$ con $uinU$ e $winW$ perché $U+W$ contiene $UuuW$, di conseguenza $U+W$ contiene l'unione delle basi di $U$ e di $W$ che consideravo (cioè $tilde(B_U)$ e $B_V\\tilde(B_U)$) e ovviamente la loro unione è $B_V$ base di $V$; essendo quindi $U+W$ uno spazio vettoriale che contiene una base di $V$ (ed essendo un sottospazio di $V$) ho che $U+W=V$.
L'unicità della scrittura segue dall'indipendenza lineare di $B_V$.
Dico bene? Altrimenti c'è qualcosa che mi sfugge

(anche usando una notazione un po' troppo pesante, a mio modo di vedere)

Se ti riferisci a come ho definito $tilde(B_U)$ capisco a pieno... Purtroppo non ho trovato altri modi (volevo definirlo per forza perché non mi sembrava così ovvio e volevo capire se l'idea che avevo era giusta)

[ProPatria]

$v=alpha_1 b_1+...+alpha_n b_n$. Se una base di $U$ è ${b_1,...,b_u}$ e una di $W$ è ${b_{u+1},...,b_n}$, $v=u+w$ con $u=\alpha_1 b_1+...+alpha_u b_u$ e $w=alpha_{u+1}b_{u+1}+...+alpha_n b_n$.
Se fosse $v=u_1+w_1=u_2+w_2$, allora $u_1-u_2=w_2-w_1$
$u_1-u_2$ appartiene a $U$, $w_2-w_1$ appartiene a $W$. Essendo uguali, devono appartenere a $U nn W={0}$, quindi $u_1-u_2=w_2-w_1=0$, ovvero $u_1=u_2$ e $w_1=w_2$.

Se ti riferisci a come ho definito $ tilde(B_U) $ capisco a pieno... Purtroppo non ho trovato altri modi (volevo definirlo per forza perché non mi sembrava così ovvio e volevo capire se l'idea che avevo era giusta)

Volevo dire che non mi sembra necessario partire da una base di $U$ diversa da un sottoinsieme di quella di $V$ per poi ricavare una base che lo sia. $U$ è costituito da vettori che appartengono a $V$, quindi una volta scelta una base di $V$ anche i vettori di $U$ sono generati da vettori in essa.

Non mi sembrava così facile... Grazie