Pushout dei gruppi

[3m0o]

Non capisco una cosa di questo esercizio
Fissati 3 gruppi, \(K,H,G \) e due omomorfismi \(K \xrightarrow{\alpha} G \) e \(K \xrightarrow{\beta} H \), definizione che mi hanno dato di pushout dei gruppi del diagramma \( H \xleftarrow{\beta} K \xrightarrow{\alpha} G \) è il gruppo quoziente del prodotto libero
\[ G \ast_{K} H / \lhd \alpha(x) \beta(x)^{-1}, \forall x \in K \rhd \]
dove con \( \lhd A \rhd \) intendo il sottogruppo normale generato da \( A \).

Ora mi si chiede di determinare il pushout di \( \mathbb{Z} \xleftarrow{\cdot 2} \mathbb{Z} \xrightarrow{\cdot 3} \mathbb{Z} \).
Io ho fatto
\[ \mathbb{Z} \ast_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z} / \lhd 2x-3x=-x, \forall x \in \mathbb{Z} \rhd \]
Ora siccome \( \mathbb{Z} = \left< 1 | \emptyset \right> \) avrei che il prodotto libero è isomorfo al gruppo libero ottenuto da due generatori \( \mathbb{Z} \ast \mathbb{Z}= \left< 1,1' | \emptyset \right> \cong F(x,y) \) dunque
\[ \mathbb{Z} \ast_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z} / \lhd 2x-3x=-x=0, \forall x \in \mathbb{Z} \rhd =\left< 1,1' | -x =0 , \forall x \in \mathbb{Z}\right> \cong \mathbf{0} \]
che è il gruppo triviale.

Ma le soluzioni mi dicono che il gruppo ammette la presentazione
\[ \left< a,b | a^2,b^3 \right> \cong PSL(2,\mathbb{Z} ) = SL(2,\mathbb{Z})/\{\pm id \} \]
Ora penso che con \( a^2 =b^3=1 \) addotti una notazione moltiplicativa ma intende \(2a=3b=0 \). Inoltre prende due generatori qualunque io prendo i due \(1\). Però dovrebbe quozientare per il \( a^2b^{-3}=1 \) e non \( a^2=b^3=1 \)... sbaglio?

[solaàl]

Innanzitutto, è meglio denotare il gruppo \(\mathbb Z\) come \(\mathbb Z\langle a\rangle = \langle a^n \mid n =\pm 1, \pm 2,\dots\rangle\); in questa notazione, è chiaro come agiscono le mappe di cui sopra:

la mappa orizzontale manda il generatore $x$ in $a^2$; la mappa verticale manda il generatore $x$ in $b^3$. Ciò detto quindi, il pushout delle due mappe è il gruppo \(\langle a,b\mid a^2b^{-3}\rangle\). Non è escluso che questo sia PSL(2,Z): non mi ricordo come viene presentato di solito, né saprei ricostruirlo, ma forse un libro di teoria dei gruppi, o Wikipedia, bastano a trovare la risposta...

[3m0o]

La notazione del prof per una presentazione di un gruppo è dato da \[ \left< g_1, \ldots, g_n | r_1, \ldots, r_m \right> \]
dove \( g_1, \ldots, g_n \) sono i generatori e \( r_1, \ldots, r_m \) i relatori, ovvero sta identificando \( r_1 = \ldots = r_m = 1 \).

Quindi con la sua notazione \( \mathbb{Z} =\left< a | \emptyset \right> \) e anche io penso che abbiamo la il prodotto libero è presentato da \( \left< a, b | a^2 b^{-3} \right> \) e non \( \left< a, b | a^2, b^{3} \right> \) che è la presentazione di \( PSL(2,\mathbb{Z}) \)
https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_group#Presentation

[3m0o]

Cioé se fosse il prodotto libero e non il pushout del diagramma sopra, sarei d'accordo con il fatto che è il gruppo modulare.

[solaàl]

Sì, allo stesso modo su wiki c'è scritto che \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} * \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \cong PSL(2,\mathbb{Z})\); è un po' come se ti stessero dicendo che il colimite

è uguale al colimite

dove le mappe che hai aggiunto sono le proiezioni sul conucleo. E' possibile sia vero; in questo momento non mi viene in mente un motivo. (Quello che sospettavo all'inizio è falso.)

[3m0o]

Non so cosa sia il colimite, ma il fatto è che su wikipedia c'è scritto che il free product tra \( \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \ast \mathbb{Z}/3 \mathbb{Z} \cong PSL(2,\mathbb{Z} ) \) e sono d'accordo infatti il prodotto libero tra due gruppi \( G,H \) che hanno presentazione rispettivamente \( \left< a_1, \ldots, a_n | \alpha_1 , \ldots, \alpha_m \right> \) e \( \left< b_1, \ldots, b_k | \beta_1 , \ldots, \beta_j \right> \) allora per definizione
\[ G \ast H = \left< a_1, \ldots, a_n, b_1 ,\ldots, b_k | \alpha_1 , \ldots, \alpha_m, \beta_1 , \ldots, \beta_j \right> \]
Dunque siccome
\( \mathbb{Z}/2 \mathbb{Z} = \left< a |a^2 \right> \) e \( \mathbb{Z}/3 \mathbb{Z} = \left< b |b^3 \right> \) abbiamo che \( \mathbb{Z}/2 \mathbb{Z} \ast \mathbb{Z}/3 \mathbb{Z} =\left< a,b |a^2, b^3 \right> \cong PSL(2,\mathbb{Z}) \).
NB: uso una notazione che è moltiplicativa ma i gruppi sono additivi quindi quando scrivo \( a^2 = a + a \).
Nel esercizio però abbiamo i due morfismi seguenti
\( 2 \cdot : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \) definito credo come \( z \mapsto z^2 \)
\( 3 \cdot : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \) definito credo come \( z \mapsto z^3 \)
E i 3 gruppi in questione hanno presentazione \( \left< a | \right> \)
Ora devo quozientare per il sottogruppi normale generato da \( a^2 b^{-3} \), che chiamo \( N \) pertanto
\( \mathbb{Z} \ast_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z} /N \) ha presentazione
\[ \left< a,b | a^2b^{-3} \right> \]
che non è isomorfo ne niente a \( PSL(2,\mathbb{Z}) \).

[solaàl]

Un pushout è un tipo particolare di colimite; la proprietà universale è la stessa, solo su un diagramma piu complicato.

Detto questo, mi sembra di saper dimostrare che il pushout che ti interessa non sia \(\mathbb Z_2 *\mathbb Z_3\). Si tratta di dimostrare che il pushout in questione non può essere isomorfo a PSL(2,Z) (trovando una proprietà dell'uno che non sia dell'altro).