Non capisco una cosa di questo esercizio
Fissati 3 gruppi, \(K,H,G \) e due omomorfismi \(K \xrightarrow{\alpha} G \) e \(K \xrightarrow{\beta} H \), definizione che mi hanno dato di pushout dei gruppi del diagramma \( H \xleftarrow{\beta} K \xrightarrow{\alpha} G \) è il gruppo quoziente del prodotto libero
\[ G \ast_{K} H / \lhd \alpha(x) \beta(x)^{-1}, \forall x \in K \rhd \]
dove con \( \lhd A \rhd \) intendo il sottogruppo normale generato da \( A \).
Ora mi si chiede di determinare il pushout di \( \mathbb{Z} \xleftarrow{\cdot 2} \mathbb{Z} \xrightarrow{\cdot 3} \mathbb{Z} \).
Io ho fatto
\[ \mathbb{Z} \ast_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z} / \lhd 2x-3x=-x, \forall x \in \mathbb{Z} \rhd \]
Ora siccome \( \mathbb{Z} = \left< 1 | \emptyset \right> \) avrei che il prodotto libero è isomorfo al gruppo libero ottenuto da due generatori \( \mathbb{Z} \ast \mathbb{Z}= \left< 1,1' | \emptyset \right> \cong F(x,y) \) dunque
\[ \mathbb{Z} \ast_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z} / \lhd 2x-3x=-x=0, \forall x \in \mathbb{Z} \rhd =\left< 1,1' | -x =0 , \forall x \in \mathbb{Z}\right> \cong \mathbf{0} \]
che è il gruppo triviale.
Ma le soluzioni mi dicono che il gruppo ammette la presentazione
\[ \left< a,b | a^2,b^3 \right> \cong PSL(2,\mathbb{Z} ) = SL(2,\mathbb{Z})/\{\pm id \} \]
Ora penso che con \( a^2 =b^3=1 \) addotti una notazione moltiplicativa ma intende \(2a=3b=0 \). Inoltre prende due generatori qualunque io prendo i due \(1\). Però dovrebbe quozientare per il \( a^2b^{-3}=1 \) e non \( a^2=b^3=1 \)... sbaglio?