Dire per quali parametri è una base

[anon1234]

Ho un dubbio con il seguente esercizio.
Dire per quali t l'insieme {v1,v2,v3} è una base di R3

$ v1 = (1,-4,t); v2 = (2,t,0); v3 = (-4,2,t)$

Per trovare una base, pongo la matrice:
$A=((1,2,-4 ),(-4 ,t,2),(t,0,t))$

eseguo la riduzione:

$R2 = R2 + 4R1 ; R3 = R3 - tR1 $

$A=((1,2,-4 ),(0,t+8,-14),(0,-2t,5t))$

$R3 = R3 - (((-2t)/(t+8))*R2) $

$A' = ((1,2,-4 ),(0,t+8,-14),(0,0,(5t^2+12t)/(t+8)))$

Ora procedo nel seguente modo: per essere una base vi è bisogno che il sistema abbia soluzione/i. La soluzione c'è se $(5t^2+12t)/(t+8) = 0$

ottenendo:

$A' = ((1,2,-4 ),(0,t+8,-14),(0,0,0))$

A questo punto avendo ottenuto 1 e t+8 come pivot posso dire che $ B = {(1,-4,t),(2,t,0)} $è una base ma non mi è ancora chiaro come trovo i t tale per cui quei 2 vettori formino una base.
Posso forse dire che formano una base per $(5t^2+12t)/(t+8) = 0$ ovvero risolvendo l'equzione per $ t1 = -12/5$
oppure $ t2 = 0 $ ?
Un chiarimento sarebbe gradito, possibilmente senza utilizzo mediante determinante ma solo tramite definizione di base. Grazie

[axpgn]

L'ultima matrice $A'$ ti sembra composta da vettori linearmente indipendenti ?

[anon1234]

L'ultima matrice $A'$ ti sembra composta da vettori linearmente indipendenti ?

no, a maggior ragione non mi torna.

[axpgn]

Quindi non è una base cioè per quei due valori di $t$ (ammesso che siano corretti, non ho verificato i conti) non è una base.
Di conseguenza ...

[anon1234]

Quindi non è una base cioè per quei due valori di $t$ (ammesso che siano corretti, non ho verificato i conti) non è una base.
Di conseguenza ...

mi stai cercando di dire che non ha una base? Però mi sembra strano sinceramente, secondo me c'è qualcosa di errato nel procedimento allora.

[axpgn]

Ho scritto "non è una base", non ho scritto "non ha una base".

Lo riscrivo: quando $t=0$ o $t=-12/5$ quella matrice ha rango $2$, quindi quando $t$ assume qui valori quei tre vettori NON sono una base di $RR^3$. Ci siamo fino a qui?

Di conseguenza quando $t$ è diverso da quei due valori, quella matrice ha rango $3$ (perché anche la terza colonna sarà una colonna pivot) perciò i tre vettori saranno una base di $RR^3$

[anon1234]

Di conseguenza quando $t$ è diverso da quei due valori, quella matrice ha rango $3$ (perché anche la terza colonna sarà una colonna pivot) perciò i tre vettori saranno una base di $RR^3$

Ok quindi per rispondere al quesito devo dire questo, ma se io invece volessi trovare una base, basterebbe prendere i 3 vettori di partenza, assegnare a quei t 3 valori a caso tali che siano diversi da $0$ e da $-12/5$ e verificare che siano linearmente indipendenti? oppure c'è qualche altro procedimento più preciso e particolare per trovare quei $t$?

Inoltre mi sorge un altro dubbio, per ottenere un sistema con soluzione negli ultimi passaggi ho imposto che l'equazione di secondo grado fosse = 0. Ottendendo:

$A' = ((1,2,-4 ),(0,t+8,-14),(0,0,0))$

Riguardando però, ho notato che anche t+8 dovrebbe essere diverso da 0 ovvero t diverso da -8 perchè il sistema abbia soluzione e sia "un' ipotetica base" (che abbiamo visto che non è). quindi c'è anche questo valore di t da tenere in considerazione giusto?

[axpgn]

… ma se io invece volessi trovare una base, basterebbe prendere i 3 vettori di partenza, assegnare a quei t 3 valori a caso tali che siano diversi da $0$ e da $-12/5$ e verificare che siano linearmente indipendenti?

Non è necessario verificare di nuovo che siano linearmente indipendenti, l'hai appena fatto: quella matrice con quei valori di $t$ (quelli diversi da $0$ e $-12/5$) , ha rango $3$, quindi sono tre vettori linearmente indipendenti. Ed è un procedimento "preciso" non casuale: ricorda che le basi di $RR^3$ sono infinite.

... quindi c'è anche questo valore di t da tenere in considerazione giusto?

Premesso che io avrei fatto un percorso leggermente diverso per la riduzione a scalini, per evitare di dividere e trovarmi in una situazione più semplice, la risposta è sì, devi tener conto anche di quelle situazioni.
Questo perché quando riduci con le mosse di Gauss, devi stare attento a non dividere per zero o moltiplicare un'equazione per zero; quando hai solo numeri questo è evidente ma se hai dei parametri devi porre attenzione ai vari passaggi e tenere conto dei valori che potrebbero creare queste situazioni. Peraltro è relativamente facile verificare cosa succede in questi casi, basta sostituire: in questo caso $t= -8$ non cambio il rango.

[anon1234]

Grazie mille per i chiarimenti!

Premesso che io avrei fatto un percorso leggermente diverso per la riduzione a scalini, per evitare di dividere

Ad ogni modo se te la senti di mostrarmi come avresti fatto tu per la riduzione mi faresti un favore. Se è più semplice mi tornerà sicuramente utile in futuro

[axpgn]

Niente di diverso nella procedura e niente di particolare, semplicemente avrei riordinato diversamente le righe restanti dopo il primo passaggio e moltiplicato entrambe per il coefficiente dell'altra ovvero avrei "sfruttato" maggiormente le possibilità offerte dalle mosse di Gauss invece che applicarle "rigidamente" come un computer.
In questo caso non cambia granché ma in situazione più complicate, facilitarsi la vita con conteggi più semplice è meglio