Dimostrazione riguardante il rango di due matrici equivalenti

[GN00Fu]

Ringrazio in anticipo chiunque sia così gentile da darmi una mano.

Sto seguendo il mio primo corso di algebra lineare e sto studiando dal libro "Lezioni di Geometria I" di Ferruccio Orecchia. Il libro è molto poco friendly (contiene pochissimi esempi ed in 3 capitoli che per ora ho letto 1 solo esercizio) ed è, in generale, molto sintetico nelle dimostrazioni.

Purtroppo, sebbene ci abbia pensato per diverse ore, non riesco a sciogliere un nodo sulla dimostrazione di un lemma di base, cioè quello che 2 matrici equivalenti (cioè ottenibili l'una dall'altra attraverso operazioni elementari) hanno lo stesso rango. Ho trovato molte dimostrazioni sul web, ma nessuna parte dalle stesse premesse e l'unico libro che seguiva un percorso simile all'Orecchia esponeva il teorema seguito da "dimostrazione: omessa" ... bella fregatura!

Il problema risiede nel passaggio in cui si dimostra che scambiare due righe di una matrice non ne varia il rango. La dimostrazione di ciò è completata in poche parole dicendo che "è facile rendersi conto che ogni minore della matrice ottenuta dopo lo scambio di righe è un minore della matrice originale oppure è ottenuto permutando due righe della matrice di un minore di A, onde i ranghi sono identici"

D'altra parte, questa dimostrazione non tiene in conto del caso in cui, detta A la matrice di partenza e B la matrice ottenuta scambiando la riga i con la riga j, si consideri un minore di B la cui matrice contiene soltanto una delle righe che sono state scambiate. In tal caso, la matrice non è uguale ad una già presente in A ed essa non ha subito un semplice scambio di righe poiché una delle due righe che sono state scambiate non le appartiene. Purtroppo questo caso non è, per me, banale e non riesco a completare la dimostrazione. Sareste così gentili da aiutarmi?

Il capitolo precede sia quello sui sistemi lineari che quello sugli spazi vettoriali. Le uniche cose che ho a disposizione sono la definizione di determinante, le sue proprietà di base e la definizione di rango come il massimo ordine di un minore non nullo.

[gugo82]

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Detto da uno che lo conosce (e che conosce anche chi l'ha scritto, che veniva a fare lezione col libro aperto in mano e trascriveva passaggio per passaggio le dimostrazioni dalla pagina alla lavagna... ): quel libro è brutto.
Buttalo e prendine uno buono.

Ad ogni modo, prendiamo una matrice a capocchia:

$A=((1,2,3), (4,5,6), (-3,-2,-1))$

e scambiamone due righe, diciamo la prima e la terza, ottenendo:

$B= ((-3, -2, -1), (4,5,6), (1,2,3))$.

I minori di ordine $2$ di $A$ sono:

$A_(1,1) = ((5,6), (-2,-1))$, $A_(1,2)=((4,6), (-3,-1))$, $A_(1,3)=((4,5), (-3,-2))$

$A_(2,1) = ((2,3), (-2,-1))$, $A_(2,2)=((1,3), (-3,-1))$, $A_(2,3)=((1,2), (-3,-2))$

$A_(3,1) = ((2,3), (5,6))$, $A_(3,2)=((1,3), (4,6))$, $A_(3,3)=((1,2), (4,5))$

mentre quelli di $B$ sono:

$B_(1,1) = ((5,6), (2,3))$, $B_(1,2)=((4,6), (1,3))$, $B_(1,3)=((4,5), (1,2))$

$B_(2,1) = ((-2,-1), (2,3))$, $B_(2,2)=((-3,-1), (1,3))$, $B_(2,3)=((-3,-2), (1,2))$

$B_(3,1) = ((-2,-1), (5,6))$, $B_(3,2)=((-3,-1), (4,6))$, $B_(3,3)=((-3,-2), (4,5))$

e si vede che i minori della prima riga di $A$ corrispondono a quelli della terza di $B$ e viceversa, mentre quelli delle righe centrali si corrispondono tra loro.

Se fai una prova con una matrice $4 xx 4$, osserverai che alcuni minori di ordine $2$ sono uguali, mentre altri differiscono per l'ordine di righe.

Questa cosa si potrà formalizzare decentemente, ma non mi ci infilo e lascio ben volentieri la palla ad altri.

[axpgn]

Prova a guardare anche qui, specificatamente la sottosezione "Theorem EOPSS".
Inoltre qui, guarda i teoremi con la sigla NME, dall'1 al 9.

[GN00Fu]

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Detto da uno che lo conosce (e che conosce anche chi l'ha scritto, che veniva a fare lezione col libro aperto in mano e trascriveva passaggio per passaggio le dimostrazioni dalla pagina alla lavagna... ): quel libro è brutto.
Buttalo e prendine uno buono.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Mi sento come fossi in un duello western, non posso fuggire. Tra l'altro, signor gugo, mi ritrovo a ringraziarla di nuovo poichè giá una volta parlammo ma con un account diverso a cui non riesco ad accedere...

Ad ogni modo, prendiamo una matrice a capocchia:

$A=((1,2,3), (4,5,6), (-3,-2,-1))$

e scambiamone due righe, diciamo la prima e la terza, ottenendo:

$B= ((-3, -2, -1), (4,5,6), (1,2,3))$.

I minori di ordine $2$ di $A$ sono:

$A_(1,1) = ((5,6), (-2,-1))$, $A_(1,2)=((4,6), (-3,-1))$, $A_(1,3)=((4,5), (-3,-2))$

$A_(2,1) = ((2,3), (-2,-1))$, $A_(2,2)=((1,3), (-3,-1))$, $A_(2,3)=((1,2), (-3,-2))$

$A_(3,1) = ((2,3), (5,6))$, $A_(3,2)=((1,3), (4,6))$, $A_(3,3)=((1,2), (4,5))$

mentre quelli di $B$ sono:

$B_(1,1) = ((5,6), (2,3))$, $B_(1,2)=((4,6), (1,3))$, $B_(1,3)=((4,5), (1,2))$

$B_(2,1) = ((-2,-1), (2,3))$, $B_(2,2)=((-3,-1), (1,3))$, $B_(2,3)=((-3,-2), (1,2))$

$B_(3,1) = ((-2,-1), (5,6))$, $B_(3,2)=((-3,-1), (4,6))$, $B_(3,3)=((-3,-2), (4,5))$

e si vede che i minori della prima riga di $A$ corrispondono a quelli della terza di $B$ e viceversa, mentre quelli delle righe centrali si corrispondono tra loro.

Se fai una prova con una matrice $4 xx 4$, osserverai che alcuni minori di ordine $2$ sono uguali, mentre altri differiscono per l'ordine di righe.

Questa cosa si potrà formalizzare decentemente, ma non mi ci infilo e lascio ben volentieri la palla ad altri.

Ci provo.

[GN00Fu]

La butto lì: l'approccio per sottomatrici mi pare un po' cervellotico.
C'è un approccio molto più semplice (e più generale):
1) eseguire un'operazione elementare su una matrice equivale a moltiplicarla per una matrice elementare;
2) le matrici elementari sono tutte a rango pieno;
3) moltiplicare una matrice per una matrice a rango pieno non ne altera il rango.
Se ti interessa ti do i dettagli.

Molto interessante. Ho dato un'occhiata alle matrici elementari (di Gauss, secondo Wikipedia), mi chiedevo se per dimostrare l'equivalenza con le operazioni elementari l'unica strada fosse per "forza bruta", mostrando che il risultato è identico, oppure se ci fosse qualche altra maniera più rapida. Invece che le matrici abbiano rango pieno mi sembra abbastanza ovvio alla fin fine (oppure no?). Potresti darmi qualche spunto per il terzo punto?

Grazie mille della risposta

[GN00Fu]

Prova a guardare anche qui, specificatamente la sottosezione "Theorem EOPSS".
Inoltre qui, guarda i teoremi con la sigla NME, dall'1 al 9.

Ti ringrazio per la risposta. Purtroppo le risorse che mi hai linkato seguono percorsi molto diversi e mi piacerebbe dimostrare il teorema con gli strumenti che mi mette a disposizione l'Orecchia. Credo che la strada delle matrici elementari indicatami sopra sia per ora quella che più si avvicina, ma non sono ancora sicuro che si possano evitare sistemi lineari e spazi vettoriali nelle dimostrazioni.

[axpgn]

A dir la verità, nel primo link si fa riferimento proprio all'equivalenza di sistemi lineari non di matrici (che viene poi successivamente quando "associa" sistemi lineari a matrici).
Tutto il capitolo iniziale mi pare possa fare proprio al caso tuo, a maggior ragione se chiedi questo

Molto interessante. Ho dato un'occhiata alle matrici elementari (di Gauss, secondo Wikipedia), mi chiedevo se per dimostrare l'equivalenza con le operazioni elementari l'unica strada fosse per "forza bruta", mostrando che il risultato è identico, oppure se ci fosse qualche altra maniera più rapida.

IMHO

Cordialmente, Alex

[GN00Fu]

A dir la verità, nel primo link si fa riferimento proprio all'equivalenza di sistemi lineari non di matrici (che viene poi successivamente quando "associa" sistemi lineari a matrici).
Tutto il capitolo iniziale mi pare possa fare proprio al caso tuo, a maggior ragione se chiedi questo

Molto interessante. Ho dato un'occhiata alle matrici elementari (di Gauss, secondo Wikipedia), mi chiedevo se per dimostrare l'equivalenza con le operazioni elementari l'unica strada fosse per "forza bruta", mostrando che il risultato è identico, oppure se ci fosse qualche altra maniera più rapida.

IMHO

Cordialmente, Alex

Forse non sto capendo io, ma quello che intendevo sopra era una dimostrazione più rapida senza ulteriori strumenti come i sistemi lineari. Mi piacerebbe completare la dimostrazione del libro e seguirne il percorso che passa soltanto in un secondo momento per i sistemi lineari. Le matrici elementari già sono uno strumento in più, ma molto vicino a quelli che ho già a disposizione.

[axpgn]

Capisco.
Siccome cercavi una dimostrazione più rapida, quella lo è

[GN00Fu]

Capisco.
Siccome cercavi una dimostrazione più rapida, quella lo è

Lo terrò comunque a mente. Grazie mille

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