Grafo di Cayley

[j18eos]

Mi fermo (per adesso) sulla domanda 1: wikipedia più in giù utilizza una presentazione di \(\displaystyle Q_8\) con due soli generatori, sicché "colora" il grafo con due soli colori...

[3m0o]

Mi fermo (per adesso) sulla domanda 1: wikipedia più in giù utilizza una presentazione di \(\displaystyle Q_8\) con due soli generatori, sicché "colora" il grafo con due soli colori...

Okay quindi usa la presentazione
\[ \mathrm{Q}_8 = \left< i,j | ijij^{-1}=1, jiji^{-1}=1 \right> \]

[j18eos]

No, questa:
\[
\mathrm{Q}_8=\langle i,j\mid i^4=j^4=1,ijij^{-1}=1\rangle
\]
... attenzione!

[3m0o]

No, questa:
\[
\mathrm{Q}_8=\langle i,j\mid i^4=j^4=1,ijij^{-1}=1\rangle
\]
... attenzione!

mmmh.... non capisco, come fai a dire che è questa e non l'altra? Mi sembrano equivalenti.

[j18eos]

Purtroppo non ho tempo oggi (e nemmeno nei prossimo giorni);

ma se tu presenti un gruppo, e non specifichi se un generatore sia periodico oppure no, cambia profondamente la presentazione stessa!

Ad esempio, la tua presentazione ti da un gruppo infinito!

[3m0o]

Figurati, rispondimi poi quando hai tempo, se vorrai

Ma anche dalla tua presentazione come fai a capire il grafo scusami.

Vabbe abbiamo \( 1 \rightarrow i \rightarrow i^2 \rightarrow i^3 \rightarrow 1 \).
Poi abbiamo che \( 1 \rightarrow j \rightarrow j^2 \rightarrow j^3 \rightarrow 1 \).
Però abbiamo che
\( j \rightarrow j i \rightarrow ji^2 \rightarrow ji^3 \)
Ora abbiamo dalla relazione \( ijij^{-1} = 1 \) che \( ji^{-1} = i j \) e da \(i i^3 =1 \) che \( i^{-1} = i^3 \) dunque \( ji^{-1} = ij \).
Pertanto
\( j \rightarrow ji \rightarrow ji^2 \rightarrow ji^3=ij \rightarrow iji=j\).

\( i \rightarrow ij \rightarrow ij^2 \rightarrow ij^3 \rightarrow ij^4=i\)


Mi resta da dimostrare quanto segue
\( j^2=i^2 \), \(j^3=ji^2 \), \(ij^2 = i^3 \), \(ij^3=ji \), \(j^3=ji^2\) e \( ji^2j = 1 \).
ma come faccio? Non vedo come con le sole relazioni che mi hai dato te.

Ad esempio, la tua presentazione ti da un gruppo infinito!

E poi non capisco come un gruppo finito possa avere presentazione infinita. Quella l'ho sempre presa da wikipedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Presentation_of_a_group#Examples

[j18eos]

Sì, questa presentazione
\[
\langle i,j\mid ijij^{-1}=1, jiji^{-1}=1\rangle
\]
ti da \(\displaystyle Q_8\)!

Trovi \(\displaystyle i,j,k\in G\) tali che \(\displaystyle ij=k,jk=i,ki=j\); e ti viene:
\[
1=ijij^{-1}jiji^{-1}=iji^2ji^{-1}\\
i=iji^2j\Rightarrow ji^2j=1=jiji^{-1}\Rightarrow i^2j=iji^{-1}=j^{-1}\Rightarrow i^2j^2=1
\]
e giocando opportunamente arrivi a \(\displaystyle ik=j^{-1},kj=i^{-1},ji=k^{-1}\); ancòra:
\[
ij=jijiji\Rightarrow ij=(ji)^3\Rightarrow (ij)^4=k^4=1
\]
e quindi:
\[
k^2=(ij)^2=ijij=j^2=i^2\Rightarrow i^4=j^4=1
\]
e il resto vien da sé... La periodicità s'era nascosta!

Quindi, avendo una presentazione mediante due generatori, è ovvio che si debba disegnare un grafo con due colori: uno per ogni generatore. Ti trovi?

Poi, presentazioni diverse dello stesso gruppo, ti devono fornire grafi colorati isomorfi: sbaglio?

[3m0o]

Quindi per chiarezza, quella (di due generatori che ho scritto io) presentazione ti da \( \mathrm{Q}_8 \) e non un gruppo infinito. Se un gruppo finito ha una presentazione essa non può essere un gruppo infinito.
Il grafo di Cayley usa due colori perché si rifà ad una presentazione con due generatori e non con 4 (come pensavo inizialmente). È chiaro che se usa 2 generatori ho 2 colori.
Mentre per quanto riguarda grafi di Cayley isomorfi con presentazioni differenti, penso sia falso. Mi sembra che i grafi di Cayley del gruppo diedrale seguente con presentazioni differenti non siano isomorfi.
https://en.wikipedia.org/wiki/Cayley_graph#Examples

[j18eos]

Sbobino la risposta:

1. Sì, hai usato una possibile rappresentazione di \(\displaystyle Q_8\), e di conseguenza puoi disegnare e colorare il corrispondente grafo di Cayley.
2. Premesso che ogni gruppo è presentabile¹, è ovvio che la presentazione di un gruppo finito, non rappresenta un gruppo infinito.
3. Una presentazione con \(\displaystyle n\) generatori ti da un grafo con \(\displaystyle n\) colori.
4. Sui morfismi tra grafi di Cayley di un gruppo presentato in maniere distinte (ma equivalenti) mi taccio!

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Note

1. Ciò discende dalla costruzione dei gruppi liberi. ↑