Esercizio su applicazione lineare

[anon1234]

Salve, ho il seguente esercizio

Sia $S(t): R^4 → R^3$
l’applicazione definita per ogni $t ∈ R$ da $T$

$T(((x1),(x2),(x3),(x4)))=((x1-x2+x3+x4),(x1+2x2-x3),(3x1+x3+tx4))$

(a) Per ogni $t ∈ R$ determinare la matrice $A(t)$ tale che $St(x) = At(x)$ per ogni $x ∈ R^4$.
(b) Per ogni $t ∈ R$ calcolare rg(St), dim(Ker(St)) e trovare basi per Ker(St) e Im(St).

Non ho la minima idea di come risolverlo e sopratutto non mi è chiara la dicitura: $St(x) = At(x)$
Un aiuto sarebbe gradito.

[feddy]

(a) Calcola $T(e_i)$, $i=1,2,3,4$
(b) Credo ci sia ein milione di esercizi risolti sul forum. Vedrai che cercando risuscirai a trovarne di uguali

[anon1234]

(a) Calcola $T(e_i)$, $i=1,2,3,4$
(b) Credo ci sia ein milione di esercizi risolti sul forum. Vedrai che cercando risuscirai a trovarne di uguali

Ciao per quanto riguarda il punto b sono in grado di calcolare ker rg e img ma non ho capito a cosa si riferisce con St, quello che più non mi è chiaro di questo esercizio è quello che chiede nel modo in cui lo chiede.
Per il punto a invece ho solo capito che ha a che vedere con la base canonica di $R^4$ ma non ho capito come applicare la funzione in questo particolare contesto.

[feddy]

a) $T(e_1) = T([1,0,0,0]) = [1,1,3]$. Devi sostituire le coordinate dentro la definizione, nulla di più. Una volta fatto questo, mettendo in colonna i risultati trovarai la matrice rappresentativa dell'applicazione lineare (rispetto alla base canonica).

La $t$ che compare fa riferimento al parametro $t$ che compare nell'ultima riga.


b) "l'immagine,il rango, il kernel" senza soggetto non vogliono dire assolutamente nulla. Si parla di immagine/kernel **di un'applicazione lineare**. E questa è rappresentata dalla matrice che hai trovato in $A$.

E' un esercizio standard, che di sicuro avrai negli appunti. In sostanza, per il kernel guardi lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo $A_t \vec{x} = \vec{0}$. Una volta nota la dimensione di tale sottospazio, per il teorema del rango sai esttamente quale è la dimensione dell'immagine ( è un sottospazio pure lei), e puoi facilmente determinarla.