Ciao a tutti!
Ho un dubbio riguardo il concetto di base... In particolare non ho capito se la condizione di lineare indipendenza di un insieme di vettori è sufficiente a stabilire se questi sono oppure no una base per un certo spazio vettoriale. Inoltre non mi è chiaro come è necessario procedere per verificare che un certo insieme di vettori siano generatori di uno spazio vettoriale. Un insieme di vettori $ { v_1,v_2,...,v_k}sube V $ sono un insieme di generatori per $ V $ se ogni vettore $ w $ $ in V $ può essere scritto come combinazione lineare dei vettori $ v_1,v_2,...,v_k $, quindi mi basterebbe ridurre a scala la matrice completa di ordine $kxx h$ ponendo come vettore del termine noto il vettore $w={w_1,...,w_h}$ e verificando che il rango della matrice completa sia uguale a quello della matrice del sistema omogeneo associato, giusto? Esiste un metodo più rapido? Le mie perplessità sono dovute al fatto che provando a risolvere un esercizio nel quale mi veniva chiesto di decidere se un insieme di tre vettori fossero una base per lo spazio vettoriale $ mathbb(R)^3 $, questi pur risultando essere indipendenti e generatori, quest'ultima condizione verificata attraverso il procedimento descritto prima, non erano tuttavia una base per lo spazio $ mathbb(R)^3 $. Mi chiedevo dunque se il procedimento per la verifica che un insieme di vettori siano generatori per uno spazio vettoriale fosse corretto.