Esercizio su un endomorfismo autoaggiunto

[Fabio._94]

Sia $A=\{v_1, v_2,v_3\}$ una base di $\mathbb{R}^3$ e sia $f:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ l'applicazione lineare tale che:
\[ f(v_1)=v_1+2v_2 \quad f(v_2)=2v_1+v_2 \quad f(v_3)=-v_3 \]
Sapendo che $f$ è autoaggiunto, l'esercizio ci chiede di trovare una base ortonormale di $\mathbb{R}^3$, rispetto al prodotto scalare canonico, formata da autovettori di $f$.
Io ho calcolato $M^A(f)$ e ho trovato gli autovettori $(1,-1,0)_A, (0,0,1)_A, (1,1,0)_A$, però non posso sapere se i primi 2 (quelli dello stesso autospazio) sono ortogonali. A mio parere a questo esercizio manca un dato, ovvero l'ipotesi che $A$ sia una base ortogonale di $\mathbb{R}^3$. Quest'osservazione è corretta, o mi sfugge qualcosa? Forse sapendo che $f$ è semplice, sapendo che il prodotto scalare tra $(0,0,1)_A$ e $ (1,1,0)_A$, e quello tra $(1,-1,0)_A$ e $ (1,1,0)_A$, è zero trovo delle condizioni sui prodotti scalare degli elementi della base?

[j18eos]

Utilizzando le tue notazioni: \(\displaystyle M^A\) non soddisfa alcuna condizione extra?

[Fabio._94]

Viene simmetrica. Non capisco la domanda, queste sono le uniche ipotesi dell'esercizio. C'è qualche proprietà che mi sfugge?

[j18eos]

Non c'è alcun teorema riguardante la diagonalizzabilità di una matrice simmetrica reale?

[Fabio._94]

Si, ma non intuisco come posso usarli. Sappiamo che esiste una base di autovettori che la rende diagonale.

[Bokonon]

Il teorema spettrale ti assicura la matrice associata ad f sia diagonalizzabile con autovalori reali e che gli autospazi siano fra loro ortogonali. Ma se un autospazio ha dimensione k, nulla ti vieta di trovarne una base di k vettori ortogonali usando un metodo che dovresti conoscere bene.
In questo caso hai già trovato una base ortogonale...basta fare il prodotto scalare fra i primi vettori per sincerarsene.

[Fabio._94]

Si esatto, ma quello che non capisco è come lo faccio il prodotto scalare, se non conosco i vettori della base?

[Bokonon]

Ma se li hai trovati? Non capisco il problema.

[Fabio._94]

L'idea è quella di prendere un vettore $(a,-a,b)_A$ in modo che sia ortogonale per esempio a $(0,0,1)_A$, no? Ma come lo faccio il prodotto scalare se non conosco $v_1 \cdot v_j $?

[Fabio._94]

Forse sbaglio ma $(1,-1,0)_A \cdot (0,0,1)_A = (v_1-v_2) \cdot (v_3)=v_1 \cdot v_3 - v_2 \cdot v_3$, chi mi dice che $v_i \cdot v_j=0$?