Potenze di matrici uguali alla matrice identica

[LogicalCake]

Ciao a tutti, avrei bisogno di aiuto per un esercizio. La traccia è questa:

è possibile trovare una matrice quadrata di taglia qualsiasi, diversa dalla matrice identica, tale che A^2 sia la matrice identica? Ripetere per ogni A^n

Ho provato a risolvere questo esercizio ma non riesco proprio in alcun modo, mi sta facendo impazzire! Spero possiate aiutarmi

[megas_archon]

Visto che puoi scegliere la matrice di taglia qualsiasi, sceglila di taglia 1. Ora, quante soluzioni ha l'equazione $X^n-1=0$ a parte 1? Dovrebbe esserti chiaro che la risposta dipende dall'anello dove stai cercando la soluzione.

[LogicalCake]

Ciao, grazie della risposta immediata, quindi nel caso in cui la matrice abbia taglia 1 non esiste alcun numero tale per cui il suo quadrato faccia 1 (esclusi +1 -1). Ma l'esercizio chiede proprio di generalizzare il risultato per matrici quadrate di qualsiasi taglia...

Ho provato ancora a fare qualcosa ma non sembra essere affatto utile:

\(\displaystyle A^m=I_n \)
\(\displaystyle AA^{m-1}=I_n \)
\(\displaystyle AA^{m-1}=AA^{-1}\)
\(\displaystyle A^{m-1}=A^{-1} \)

Non so... è la prima volta che mi approccio a questa materia, incredibilmente affascinante ma davvero ostica dal punto di vista notazionale...

[Martino]

Se puoi scegliere i coefficienti complessi non mi sembra difficile, basta usare una radice $n$-esima di $1$ (complessa), come $e^(i 2 pi//n)$.

Invece è più interessante per esempio chiedere che i coefficienti siano interi.

[LogicalCake]

Esatto, però chiede nei reali quindi non riesco

[Martino]

Sai cos'è una matrice di rotazione? Parlo di matrici $2xx2$.

[megas_archon]

l'esercizio chiede proprio di generalizzare il risultato per matrici quadrate di qualsiasi taglia...

E' banale generalizzare a una matrice \(n\times n\), perché puoi ragionare sempre allo stesso modo con delle matrici diagonali che sono multipli dell'identità \(\mathbf 1_n\) (incidentalmente, questo è il centro dell'anello \(M_n(\mathbb K)\)). Stai cercando di capire quante soluzioni diverse da 1 ha l'equazione (in matrici) \(A^n=1\), che se scegli \(A=\alpha\mathbf{1}_n\) come multiplo dell'identità si riduce a risolvere in \(\mathbb K\) l'equazione \(\alpha^n=1\).

[LogicalCake]

l'esercizio chiede proprio di generalizzare il risultato per matrici quadrate di qualsiasi taglia...

E' banale generalizzare a una matrice \( n\times n \), perché puoi ragionare sempre allo stesso modo con delle matrici diagonali che sono multipli dell'identità \( \mathbf 1_n \) (incidentalmente, questo è il centro dell'anello \( M_n(\mathbb K) \)). Stai cercando di capire quante soluzioni diverse da 1 ha l'equazione (in matrici) \( A^n=1 \), che se scegli \( A=\alpha\mathbf{1}_n \) come multiplo dell'identità si riduce a risolvere in \( \mathbb K \) l'equazione \( \alpha^n=1 \).

Ciao, grazie dell'aiuto, ma perché dovrei pensare esclusivamente a delle matrici diagonali? come faccio ad escludere tutte le altre matrici in \(\displaystyle \mathbb{R}^{n,n} \) ?

[LogicalCake]

Sai cos'è una matrice di rotazione? Parlo di matrici $2xx2$.

\(\displaystyle {R={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}} \)

Qualcosa del genere intendi?

[megas_archon]

perché dovrei pensare esclusivamente a delle matrici diagonali? come faccio ad escludere tutte le altre matrici in \(\displaystyle \mathbb{R}^{n,n} \) ?

Semplicemente perché sono un esempio molto semplice.

Perché insisti a trovarne uno diverso se questo già risponde alla tua domanda? E' come se avessi chiesto "mi fate un controesempio al teorema di Weierstrass?" "La funzione tangente ristretta a \(]-\pi/2,\pi/2[\), ti fa vedere che essere definiti su un dominio compatto è una ipotesi necessaria" "ok, ma perché restringersi a una funzione trigonometrica? Non ci sono altri esempi?"

Certo, ci sono altri esempi, come spesso ci sono diversi modi di rispondere a una domanda.