Funzione continua su $[0,1]$

[andreadel1988]

Se $f:[0, 1]->[0,+infty)$ è una funzione continua tale che $f(1)=0$, allora si provi che esiste $tin[0,1]$ tale che $f(t)=t$.
Volevo dimostrarlo in modo topologico però più semplicemente mi è venuto da fare cosi: supponiamo per assurdo che $f(t)<t$ $AAtin[0,1]$ (questo perchè $f(1)=0$ e quindi se $EEtin[0,1]$ tale che $f(t)>=t$ per il teorema degli zeri avrei la tesi), ma allora $f(0)<0$ , che è assurdo poichè il codominio di $f$ è $[0,+infty)$. Non so se sia rigorosa e dimostrazione, ma sopratutto mi stupisce che si trovava come esercizio di topologia sulla connessione. Qualcuno sa dirmi?

[otta96]

Va bene, è un esercizio sulla connessione perchè il teorema degli zeri è un teorema sulla connessione.

[andreadel1988]

Va bene, è un esercizio sulla connessione perchè il teorema degli zeri è un teorema sulla connessione.

Ah, come si dimostra il teorema degli zeri con la connessione?

[gugo82]

Il teorema degli zeri è equivalente al teorema dei valori intermedi che, in soldoni, topologicamente vuol dire che le funzioni continue di $RR$ in sé trasformano connessi (cioè intervalli) in connessi (cioè intervalli).

Inoltre, proprio il teorema degli zeri può essere usato per dare una dimostrazione della proposizione che citi.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Considera la funzione ausiliaria $varphi(t) := f(t) - t$ definita in $[0,1]$. Essa è ovviamente continua ed ha $varphi(0) = f(0) >= 0$ e $varphi(1) = -1 <0$.
Se $f(0) = 0$, basta prendere $t_0=0$; se $f(0) >0$, si prende un $t_0$ che viene dal teorema degli zeri.

[andreadel1988]

Si ho ragionato come hai fatto, tu solo che appunto volevo sapere come funzionasse il teorema degli zeri con la connessione come mi ha accennato @otta96.

[andreadel1988]

Forse questa dimostrazione è più topologica:
Consideriamo $g(x)=f(x)-x:[0,1]->[-1,+infty)$ abbiamo che è continua (differenza di funzioni continue) per cui siccome $[0,1]$ è connesso allora $g($ $[0,1]$ $)$ è connesso e quindi un intervallo, inoltre $1,f(0)ing($ $[0,1]$ $)$ per cui per definizione di intervallo $0in[-1,f(0)]subeg($ $[0,1]$ $)$ per cui $0ing($ $[0,1]$ $)$ ovvero $EEx in[0,1]$ tale che $0=g(x)=f(x)-x$ da cui $f(x)=x$.