Funzione continua su prodotti infiniti

[andreadel1988]

Siano ${(X_i,\tau_i)}_(iinI)$ spazi topologici diversi dal vuoto. Poniamo $X=\prod_{iinI}X_i$, abbiamo che $EEx inX$, definiamo $F(x)={yinX| y_i!=x_i$ per un numero finito di $iinI}$. Sia $JsubI$ con $|J|<infty$ e sia $h_J:\prod_{jinJ}X_j->X$ definita come $h_J(z)=(y_i)_{iinI}$ dove $y_i!=x_i$ se $iinJ$ altrimenti $y_i=x_i$. Definiamo la base canonica come $B_c={\prod_{iinI}U_i| U_isubeX_i,U_iin\tau_i,U_i!=X_i$ per un numero finito di indici, altrimenti $U_i=X_i}$, dobbiamo mostrare che $h_J$ è continua. In particolare preso un elemento di $B_c$ ci basta mostrare che tale elemento si trova in $F(x)$ e poi definendo l'inversa sulle coordinate (indici in $J$) diverse da quelle di $x$ otteniamo che $h_J^-1(\prod_{iinI}U_i)=\prod_{iinJ}U_i$. Il problema è che non mi risulta che $\prod_{iinI}U_isubF(x)$ (definito come elemento di $B_c$) dato che io potrei prendere per ogni $U_i$ un $y_i$ tale che $x_i!=y_i$, non mi sembra ci sia qualcosa che me lo impedisca (soprattutto per il fatto che ho infiniti indici in cui $U_i=X_i$ e inoltre questi $X_i$ potrebbero contenere anche almeno due elementi diversi). Qualcuno sa dirmi?

[otta96]

Una funzione con codominio un prodotto è continua se e solo se lo sono tutte le composizioni con le proiezioni su tutti i fattori, ragiona su questo.
Comunque non si capisce bene come è definita $h_J$, chi è $y_i$ quando $i\inJ$?

[andreadel1988]

Comunque non si capisce bene come è definita $h_J$, chi è $y_i$ quando $i\inJ$?

Sarebbero $(z_1,...,z_j)$ con $z_1!=x_1,...,z_j!=x_j$

[otta96]

E che ne sai che $z_j!=x_j$?

[andreadel1988]

E che ne sai che $z_j!=x_j$?

Vabbe se avessi che $z_j=x_j$ per ogni $jinJ$ comunque starebbe sempre in $F(x)$, il punto è che lascia invariate le componenti di $J$ mentre le altre le pone uguale a quelle di $x$, era solo una scrittura per far capire che $Im(h(z))subF(x)$, però effettivamente la funzione vera e propria lascia invariate le componenti di $J$ mentre le altre le pone uguale a quelle di $x$.

[andreadel1988]

Credo che con $J$ si indichi l'insieme delle componenti del vettore $y$ che sono diverse da quelle di $x$.