da andreadel1988 » 11/06/2023, 15:12
a) Abbiamo che $Z$ non è compatto in quanto non è chiuso, infatti se prendo la successione $(0,0,sqrt(1/2^n))$ questa converge a $(0,0,0)notinZ$. La chiusura di $Z$ è $(uu_{n=1}^inftyS_n^2)uu{(0,0,0)}$. Abbiamo che $Y$ è compatto, infatti: $Y$ è limitato dalla sfera $x^2+y^2+z^2<=64$ e $Y$ è chiuso, infatti $Y=\bar ZuuP$ (unione finita di chiusi), ma non so se sia un modo rigoroso di mostrarlo (dato che la chiusura di $Z$ l'ho "intuita" senza dimostrarla), quindi se qualcuno sa meglio come fare dica pure, grazie.
b) $X$ è connesso: infatti se prendiamo due punti su $\Pi$ si connettono per archi su $\Pi$, se prendo due punti che si trovano entrambi su $S_n^2$ con $nin{0,...,10}$ si connettono per archi su $S_n^2$, se un punto si trova su $\Pi$ e uno su $S_n^2$ con $nin{0,...,10}$ allora dato che i due insiemi si intersecano e sono entrambi connessi per archi anche la loro unione è connessa per archi e quindi i due punti si connettono per archi nell'unione, se infine un punto si trova su $S_n^2$ con $nin{0,...,10}$ e un altro su $S_m^2$ con $m in{0,...,10}$ e $m!=n$ per quanto visto prima $S_n^2uu\Pi$ e $S_m^2uu\Pi$ sono connessi per archi e la loro intersezione è tutto $\Pi$ quindi la loro unione è connessa per archi e i punti si connettono per archi.
$Z$ è sconnesso: mi basta considerare le corone sferiche aperte del tipo $sqrt(1/2^(n-1))<x^2+y^2+z^2<sqrt(1/2^(n+1))$ e si ha che $S_n^2$ è aperto per ogni $n=1,...,infty$ (oltre che chiuso).
c)Sia $(x_0,y_0)inY$, se $(x_0,y_0)inP$ mi basta prendere una sfera $B_{\epsilon}(x_0,y_0)$ con $\epsilon>0$ e intersecarla con $Y$, mentre se $(x_0,y_0)inuu_{n=1}^inftyS_n^2$ mi basta prendere una sfera $B_{\epsilon}(x_0,y_0)$ con $\epsilon<=min{sqrt(1/2^(n+1)),y_0}$ e intersecarla con $Y$.
d) Sia $x inZ$ mi basta prendere una sfera $B_{\epsilon}(x)$ con $\epsilon<=sqrt(1/2^(n+1))$ e intersecarla con $Z$.
e) Dato che le sfere sono tutte omeomorfe a $S^2$ avevo pensato di omeomorfizzare $X$ a $\PiuuS^2$, poi da qui faccio una retrazione per deformazione di $\PiuuS^2$ su $S^2$, con $R((x,y,z),t)=((1-t)x/||(x,y,z)||+tx,(1-t)y/||(x,y,z)||+ty,z)$. E quindi $pi_1(X)$ è banale.
f) $Z$ è T2 poichè sottoinsieme di $RR^3$, sia $x inZ$, $EEnin{1,...,infty}$ tale che $x inS_n^2$ che è localmente euclideo (poichè sono sfere). Infine le componenti connesse di $Z$ sono $S_n^2$ con $nin{1,...,infty}$ e dato che sono sfere sono N2. Quindi $Z$ è una varietà topologica di dimensione $2$.
Molte cose non sono dimostrate rigorosamente quindi non so se vadano bene, se qualcuno ha di meglio da dire faccia pure, grazie.
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andreadel1988 il 11/06/2023, 17:14, modificato 1 volta in totale.
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