Sottoinsieme di $\mathbb{P}^2(CC)$

[andreadel1988]

Sia $Y={[x_0:x_1:x_2]in\mathbb{P}^2(CC)|x_0^2+x_1^2=x_2^2}$ munito della topologia indotta da quella euclidea. Dare una applicazione aperta e continua da $S^3$ ad $Y$. E’ possibile descrivere $Y$ come il quoziente di $S^3$ per l’azione di un gruppo?

Posto $X={(x_0,x_1,x_2)inCC^3\\{0}|x_0^2+x_1^2=x_2^2}$ abbiamo che $pi(X)=Y$. Per la funzione da $S^3$ ad $X$ avevo pensato $(x_0,x_1)->(x_0,x_1,1)$ che è continua e quindi $(x_0,x_1)->[x_0,x_1,1]$ è continua (composizione della funzione $(x_0,x_1)->(x_0,x_1,1)$ con la proiezione al quoziente). Ora non so bene come mostrare che $(x_0,x_1)->[x_0,x_1,1]$ è aperta (sugli elementi della base? O si può far meglio?), mentre sull'azione di gruppo credo che non si possa trovare perchè $S^3inCC^2$ e $Y$ è definito su elementi di $CC^3\\{0}$ (o comunque non contiene tutti i rappresentati di $Y$). Se qualcuno sa dire di meglio, grazie.

[j18eos]

Chi è \(\pi\)?

...e quale quadrica è \(Y\)? Questo potrebbe aiutarti a risolvere la seconda questione!

[andreadel1988]

Chi è \(\pi\)?

$pi$ è la proiezione di $CC^3\\{0}$ al quoziente $\mathbb{P}^2(CC)$

[andreadel1988]

...e quale quadrica è \(Y\)? Questo potrebbe aiutarti a risolvere la seconda questione!

C'è per caso relazione tra $\mathbb{P}^2(CC)$ e $RR^2$? E quindi direi un cono? Non ho mai fatto le quadriche sugli spazi proiettivi non so come funzionino.

[andreadel1988]

Sia $Y={[x_0:x_1:x_2]in\mathbb{P}^2(CC)|x_0^2+x_1^2=x_2^2}$ munito della topologia indotta da quella euclidea. Dare una applicazione aperta e continua da $S^3$ ad $Y$. E’ possibile descrivere $Y$ come il quoziente di $S^3$ per l’azione di un gruppo?

Qualcuno mi riesce a dire? A me sembra un cono nello spazio proiettivo complesso, ma non so come fare...

[j18eos]

Sì, \(Y\) è un cono!

P.S.: non t'ho più risposto, perché mi perdo con tutti 'sti esercizi che proponi!

[andreadel1988]

Sì, \(Y\) è un cono!

P.S.: non t'ho più risposto, perché mi perdo con tutti 'sti esercizi che proponi!

Ah ok scusami ahhahah, ma comunque non saprei cosa fare...

[j18eos]

Mi sto confondendo: cosa intendi per \(S^3\)?

[andreadel1988]

Mi sto confondendo: cosa intendi per \(S^3\)?

La ipersfera in quattro dimensioni, che puoi vedere sia come sottospazio di $RR^4$ sia come sottospazio di $CC^2$, beh insomma hai capito

[j18eos]

Ecco perché non ci capivo nulla!

Inizio col richiamare la definizione di
\[
\mathbb{S}^3=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4:x^2+y^2+z^2+t^2=1\},
\]
e ìndico con \(j\colon\mathbb{S}^3\hookrightarrow\mathbb{R}^4\) l'inclusione;

sia poi
\[
\varphi\colon(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4\to(x+iy,z+it)\in\mathbb{C}^2,
\]
una biezione tra questi due insiemi¹!

Quindi, volendo vedere \(\mathbb{S}^3\) come "sottoinsieme" di \(\mathbb{C}^2\), utilizzando le suscritte applicazioni possiamo usare la seguente identificazione
\[
\mathbb{S}^3\cong\{(z_1,z_2)\in\mathbb{C}^2:\|z_1\|^2+\|z_2\|^2=1\}\subset\mathbb{C}^2
\]
ove ricordo che \(\forall z=a+ib\in\mathbb{C},\,\|z\|^2=a^2+b^2\) ed al solito \(i^2=-1\).

Da tutto ciò, possiamo affermare che esiste una funzione continua (rispetto alle topologie euclidee) e iniettiva
\[
f\colon(x,y,z,t)\in\mathbb{S}^3\to(1+0i,x+iy,z+it)\in\mathbb{C}^3.
\]
Dopodiché non mi viene in mente un'applicazione aperta, continua e suriettiva di \(\mathbb{S}^3\) su \(Y=\{[z_0:z_1:z_2]\in\mathbb{P}^2_{\mathbb{C}}:z_1^2+z_2^2=z_0^2\}\).

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Note

1. Ad abundantiam, questo è un isomorfismo lineare di spazi vettoriali reali, il quale è anche un omeomorfismo rispetto alle loro topologie naturali! ↑