Rotazioni in $S^1$

[andreadel1988]

Sia $S^1subeCC$ il luogo dei numeri complessi di norma $1$ e sia $\varphi:ZZxxS^1->S^1$ una azione definita da $\varphi(n,z)=e^(i n)z$. Dire se il quoziente $S^1//ZZ$ è T2.

Allora intanto osserviamo che preso $z=cos(alpha)+isen(alpha)$ per un certo $alphain[0,2pi]$ si ha che $e^(i n)z=cos(alpha+n)+isen(alpha+n)$ (ovvero le rotazioni di angoli interi su $S^1$). Abbiamo che l'arco aperto su $S^1$ definito come $($$(cos(-1),sin(-1)),(cos(1),sin(1)))$ è un insieme che contiene tutte le classi di equivalenza. Se considero l'insieme ${ninZZ|\varphi(n,($ $(cos(-1),sin(-1)),(cos(1),sin(1))))nn($$(cos(-1),sin(-1)),(cos(1),sin(1)))!=∅}={0,1,-1}$ per cui è finito e quindi $S^1//ZZ$ è T2.
Può andar bene?

[apatriarca]

Non si capisce molto quello che hai scritto. Se consideriamo tuttavia la situazione equivalente di \(\mathbb R/\mathbb Z\) con l'azione \(\varphi(n, x) = x + n/2\pi\) la risposta mi sembra immediata. Le orbite sono infatte formate dalle parti frazionarie dei multipli di un numero irrazionale. Se non sbaglio si tratta di un insieme denso in \([0, 1)\) per cui dubito che il tuo quoziente sia effettivamente T2.

[andreadel1988]

ok ho riscritto

[apatriarca]

Come ho scritto nel mio post precedente, la tua dimostrazione non è corretta. Il tuo insieme non è uguale a \(\{0, 1, -1\}\). Puoi considerare anche solo \(e^{[0, 1)}\) come insieme di partenza, ma se consideriamo per esempio
\[ \varphi(3, e^{[0, 1)}) \cap e^{[0, 1)} = e^{[3, 4)} \cap e^{[0, 1)} = e^{[0, 4 - \pi)} \neq \emptyset \]

[apatriarca]

Come ho già detto inizialmente, lo spazio topologico non è T2.

Dimostro prima di tutto che esistono classi di equivalenza distinte. Infatti, se prendo un qualsiasi angolo razionale \(q \in \mathbb Q \cap (0, 1),\) allora \(q + k \neq 2n\pi\) per ogni \(k, n \in \mathbb Z\) perché \(2\pi\) è un numero irrazionale. Quindi \([e^{i0} = 1] \neq [e^{iq}].\)

Voglio ora dimostrare che queste due classi di equivalenza non hanno intorni disgiunti, cioè che
\[ \forall \epsilon \in \mathbb R^+.\; \exists\, k \in \mathbb Z.\; |\varphi(k, e^{iq}) - 1| = |e^{i(q + k)} - 1| < \epsilon.\]
La condizione è equivalente a chiedersi se l'angolo tra i due numeri complessi è inferiore a un qualche \(\delta,\) cioè:
\[ \forall \delta \in \mathbb R^+.\; \exists\, k, n \in \mathbb Z. \; |q + k - 2n\pi| < \delta. \]
Se \(\{x\} = x - \lfloor x \rfloor \) è la parte frazionaria di un numero, allora posso scrivere la condizione come
\[ \forall \delta \in \mathbb R^+.\; \exists\, n \in \mathbb Z. \; |q - \{2n\pi\}| < \delta. \]
Siccome \(2\pi\) è un numero irrazionale sappiamo che l'insieme \(\{2n\pi \mid n \in \mathbb Z\}\) è denso in \([0, 1]\) ed esiste quindi necessariamente un suo elemento che ha una distanza rispetto a \(q\) minore di \(\delta\) per ogni scelta di \(\delta\). Quindi lo spazio non è T2. Per una dimostrazione su quest'ultimo fatto puoi dare una occhiata per esempio qui.

[andreadel1988]

Provo a generalizzare la cosa per farti capire che c'è qualcosa che non quadra:
Sia $ S^1subeCC $ il luogo dei numeri complessi di norma $ 1 $, $alphainRR$ e sia $ \varphi:ZZxxS^1->S^1 $ una azione definita da $ \varphi(n,z)=e^(i nalpha)z $. Dire se il quoziente $ S^1//ZZ $ è T2.

Consideriamo la funzione $S^1//ZZ->S^1$ definita come $[z]->e^((2piarg(z))/alphai)$ questo è un omeomorfismo tra $S^1//ZZ$ e $S^1$ per cui $S^1//ZZ$ è T2 qualunque sia $alpha!=0$