Sottoinsiemi di $RR^3$ omeomorfismo

[andreadel1988]

Sia $X_nsubeRR^3$ il seguente sottospazio (con la topologia euclidea): $X_n = {(x, y, z)inRR^3|x^2 + y^2 + z^2 = n}$, $ninNN$. Sia $Y = uu_{ninNN}X_n$. Determinare se $Y$ sia omeomorfo a $uu_{ninZZ}D_1(2n, 2n, 2n)$, dove $D_1(2n, 2n, 2n)$ è l’insieme dei punti di $RR^3$ a distanza $1$ dal punto $(2n, 2n, 2n)$.

Io avevo pensato che se esiste un omemorfismo $f$ tra questi due spazi allora esso indurrebbe un omeomorfismo tra $Y\\{(0,0,0)}$ e $uu_{ninZZ}D_1(2n, 2n, 2n)\\{f(0,0,0)}$, ma il primo ha un componente connessa in meno rispetto a $Y$ mentre il secondo ha lo stesso numero di componenti connesse di $uu_{ninZZ}D_1(2n, 2n, 2n)$, e quindi tale omeomorfismo non può esistere. Non so se sia giusta, se qualcuno sa dirmi, grazie.

[megas_archon]

Se 0 è un naturale, sì. Se invece i naturali partono da 1, basta guardare i \(\pi_2\).

[andreadel1988]

Ma credo proprio che $0$ sia incluso, comunque per curiosità cosa sono i $pi_2$?

[megas_archon]

Ma credo proprio che $0$ sia incluso, comunque per curiosità cosa sono i $pi_2$?

I secondi gruppi di omotopia; scegli un punto base qualsiasi, l'unione delle sfere ha \(\pi_2\) uguale a $ZZ$, mentre le palle tridimensionali sono tutte contraibili.

[andreadel1988]

Forse un modo più formale è dire che se fossero omeomorfi ${(0,0)}$ sarebbe omeomorfo a una componente connessa per archi di $ uu_{ninZZ}D_1(2n, 2n, 2n) $ che però sono tutte sfere e quindi starei dicendo che un punto è omemorfo a una sfera, assurdo (perchè la sfera non è contraibile, anche se non l'ho dimostrato, nel caso si potrebbe dire che il punto non è varietà topologica mentre la sfera è una varietà topologica di dimensione $2$ perciò non possono essere omeomorfi?)

[megas_archon]

Due spazi topologici omeomorfi hanno la stessa cardinalità, quindi è chiaro che non possono essere omeomorfi. Semmai l'assurdo è che non possono essere omotopicamente equivalenti.

Ci sono diversi metodi elementari per derivare, da ciò che già conosci, la non-contraibilità delle sfere; un modo "elementare" è invocando la teoria del grado o il teorema di Brouwer, infatti la sfera è contraibile (cioè la sua identità è nullomotopa) se e solo se il disco retrae sulla sfera, se e solo se esiste una endomappa del disco che non ha punti fissi. Questo è pressoché autoevidente.

Also,

Forse un modo più formale

cos'ha di poco formale quel che ho detto io?

[andreadel1988]

No, intendevo più formale di quello che avevo detto io come soluzione all'inizio