Corona di quadrati con relazione di equivalenza

[andreadel1988]

Sia $X= {(x, y)inRR^2| 1/3 ≤ max(|x|, |y|) ≤ 1}$ munito della topologia indotta da quella euclidea. Sia ∼ la relazione di equivalenza definita da:
$(x_1, y_1) ∼ (x_2, y_2)$ se $1in{|x_1|, |y_1|} ∩ {|x_2|, |y_2|}$
e dalle relazioni che si ottengono dalla riflessività, simmetria e transitività. Sia $Y = X// ∼$ munito della topologia quoziente. Determinare se $Y$ sia omotopo ad un toro o al piano proiettivo reale.

La figura sono i punti che si trovano fra due quadrati uno di lato $1$ e un altro di lato $1/3$ in cui nel bordo del quadrato di lato $1$ i punti sono tutti equivalenti fra loro. Ora mi era venuto subito in mento di omeomorfizzare questo spazio trasformando i quadrati in circonferenze e mantenendo la relazione che vige sul quadrato più esterno nella circonferenza più esterna e poi da qui si ha un omoemorfismo con $S^2$ a cui viene tolto un discho che omotopo al punto e quindi direi che è semplicemente connesso e quidni non è omotopo ne al toro ne al piano proiettivo reale. Oppure avevo provato pure a usare Van Kampen con corone quadrate aperte su $X$ o anche vedere di fare qualche retrazione su deformazione , non so ad esempio retrarre tutto sul bordo ma non so se si possa fare (da qui avrei molto facilmente che è semplicemente connesso poichè il bordo quozientato diventa un punto). Ma non so bene, qualcuno mi sa dire? Grazie

[apatriarca]

Anche a me sembra una sfera senza un disco (e quindi un disco..).

[andreadel1988]

Anche a me sembra una sfera senza un disco (e quindi un disco..).

Ah dici che si se tolgo un disco (o meglio calotta) da una sfera ottengo qualcosa di omeomorfo al disco.

[apatriarca]

Sì.

[andreadel1988]

Ma se retraggo il quadrato all'interno sul quadrato piu grande non viene che è omotopo al punto?