$Y$ è compatto?
$Y$ è T2?
$Y$ è omotopicamente equivalente a $S^1$? E alla bottiglia di Klein?
Intanto identifichiamo $CC$ con $RR^2$. Avevo pensato di considerare la corona di quadrati $Q={(x,y)inRR^2|1/2<=max{|x|,|y|}<=1}$, abbiamo che $Q$ è compatto e la proiezione al quoziente ristretta a $Q$ è suriettiva per cui $Y$ è compatto. Poi consideriamo l'aperto T2 $A_{epsilon}={(x,y)inRR^2|1/2-epsilon<max{|x|,|y|}<1+epsilon}$ con $0<epsilon<1/2$, abbiamo che la proiezione al quoziente ristretta a $A_{epsilon}$ è suriettiva e ${hinG|h(A_{epsilon})nnA_{epsilon}!=∅}={0,pm1,pm2}$ per cui è finito e quindi abbiamo che $Y$ è T2. Infine per l'equivalenza omotopica avevo pensato (non so se sia giusto) di retrarre il quadrato più piccolo a quella più grande così da ottenere la stessa relazione di equivalenza che vige sul quadrato affinchè si ottenga un toro, graficamente questo (le frecce sui bordi dei quadrati indicano la relazione di equivalenza, mentre quelle dentro i due quadrati indicano la retrazione per deformazione):
e quindi non è omotopicamente equivalente ne a $S^1$ ne alla bottiglia di Klein poichè hanno gruppi fondamentali diversi.
Non so se sia giusto se qualcuno mi sa dire, grazie.
