Salve,
vago cercando una risposta a una domanda sorta leggendo il mio testo.
Un sottospazio vettoriale W viene definito come spazio vettoriale di V se W è spazio vettoriale sul campo medesimo di V e con le medesime operazioni di V.
(in pratica devono valere le 8 proprietà sulle due operazioni definenti lo spazio vettoriale)
C'è poi un teorema di caratterizzazione che dice se W è sottoinsieme di V e valgono:
a) per ogni $v,w in W$ => $v+w in W$
b) per ogni $lambda in K$ e $v in W$ => $lambda v in W$
allora W è sottospazio vettoriale di V.
(questa è la chiusura per le due operazioni)
Si dimostra che valgono a e b se e solo W è sottospazio vettoriale.
Questa dimostrazione è semplice poiché
<=) se ipotizzo W sottospazio vettoriale allora valgono a e b poiché io ho per ipotesi che W è sottospazio e le operazioni sono definite e interne ad esso. Insomma W è chiuso rispetto a quelle operaizoni e prova quanto voluto.
=>) per svolgere questa implicazione basta mostrare che a e b implicano le 8 richieste di spazio vettoriale.
Per molte di quelle proprietà è ovvio poiché essendo V spazio vettoriale quelle proprietà valgono per tutti gli elementi di V e a maggior ragione per tutti gli elementi di W che è un suo sottoinsime apunto.
RImangono solo due proprietà non ovvie che sono I) l'esistenza del neutro II) l'esistenza dell'opposto.
Procediamo come segue:
I) la proprietà b vale per ogni $lambda$, scelgo lambda pari a zero e ho: $0*w=0$ quindi $0 in W$
II) utilizzo ancora b e mostro che per $lambda=-1$ ho per b che $-1*w=-w in W$
Problema:
nella dimostrazione NON uso mai la proprietà a) quindi in sostanza: posso dimostrare quindi che: vale "b" se e solo W è sottospazio vettoriale.
Eppure per verificare se è sottospazio vettoriale uso anche la proprietà a negli esercizi, ma per la dimostrazione è del tutto inutile a) non credo di afferrare quindi l'idea.
Aiuti?