Problematica con esercizio su Ker(f)

[xineohp]

Ciao a tutti, sto riscontrando problemi con il seguente esercizio, nello specifico l'ultimo punto d).



Innanzitutto ho osservato che ponendo \( \lambda=0 \) si ha che \( \bar{v}_1+\bar{v}_2=\bar{v}_3 \) e quindi \( W=\;<\bar{v}_1,\bar{v}_2> \)

Ho pensato poi di approcciare così alla soluzione: poiché si vuole trovare una matrice \( A \) tale che \( Ker(A)=W \), allora considero una matrice generica \( A \in \mathcal{M}_{\mathbb{R}}(2,4)\) tale che:

\(A\bar{v}_1=\bar{0} \)
\(A\bar{v}_2=\bar{0} \)

Tuttavia tali calcoli portano a troppe variabili in gioco, sono sicuro che deve esserci una soluzione più rapida che mi sta fuggendo. Qualcuno può aiutarmi?
Grazie mille!

[megas_archon]

Trova l'ortogonale \(W^\perp\) a $W$; la proiezione su \(W^\perp\) ha esattamente $W$ per nucleo.

Per trovare una base di \(W^\perp\) è sufficiente risolvere il sistema \(-t + 3 x + 3 y + z = 0, -2 x + y = 0\) nelle coordinate \((x,y,z,t)\); questo ti porta a \(y=2x, t=9x+z\), che genera un sottospazio \(\langle v_1',v_2'\rangle\) di dimensione 2 in somma diretta ortogonale a $W$.

Da qui, \(W\oplus W^\perp = \langle v_1,v_2\rangle\oplus\langle v_1',v_2'\rangle\) è una base e l'applicazione \(\pi_{W^\perp}\) di proiezione su \(W^\perp\) è unicamente determinata dal fatto che \(\pi_{W^\perp}|_W=0\) e \(\pi_{W^\perp}|_{W^\perp}=1\).

[j18eos]

Moderatore: j18eos

Gli esercizi proposti mediante la pubblicazione delle sole foto non sono conformi al nostro regolamento; in quanto non sempre sono leggibili da chiunque, e poi col tempo si vanno a perdere le informazioni pubblicate tramite foto.

Invito xineohp a modificare opportunamente il thread!

Grazie della collaborazione.

[xineohp]

Grazie per la risposta!