Significato geometrico di spazi e sottospazi affini

[paolo1712]

Sto avendo un po' di difficoltà nel dare un significato grafico a questi due concetti. Perdonate la confusione generale.
Da quello che ho inteso uno spazio affine è uno spazio vettoriale che non ha centro privilegiato. Considerando il particolare caso di $R^2$, posso intenderla come una traslazione del piano cartesiano in un punto differente dal centro $O(0,0)$ (nel caso in cui non consideri il riferimento standard)? E' corretta come interpretazione?
Inoltre il riferimento affine standard coincide con centro in 0 e $B={(1,0);(0,1)}$ e ha i generatori lungo gli stessi assi; se dovessi scegliere un riferimento affine del tipo $R'(O',B')$ con $O'=(1,2)$ e $B'={(1,-1),(1,0)}$ è lecito considerare gli assi di questo nuovo piano non più ortogonali ma orientati lungo i vettori della nuova base?

Un sottospazio affine sempre in $R^2$ perché è (o può essere, non lo so) una retta traslata? Qual è la costruzione grafica?
Cioè ho questo spazio affine associato ad uno spazio vettoriale V magari con riferimento affine non standard. Considero un sottospazio di $V$ tipo $<v> , v\in V$ ovvero una retta passante per il centro. Poi prendo un punto $X$ di $A$. Il sottospazio affine sarà formato da tutti i punti $P$ tali per cui $XP \in <v>$. Quindi perché questi vettori generati da $<v>$ si trovano su una retta parallela e non sulla retta di $v$?

Perdonate ancora la domanda mal posta. Vi ringrazio anticipatamente!

[j18eos]

Così, "su due piedi", penso che tu confonda gli spazi affini con gli spazi affini euclidei!

Prova a leggere il capìtolo 7 di questa mia dispensa!

[hydro]

Da quello che ho inteso uno spazio affine è uno spazio vettoriale che non ha centro privilegiato.

Questa nozione è mal definita e, in quanto tale, alla fine crea più confusione che altro. Io ti consiglio di studiare la definizione astratta, ovvero quella di una tripla $(A,V,f)$ con $A$ insieme non vuoto, $V$ spazio vettoriale di dimensione finita e $f: A\times A\to V$ che soddisfa due proprietà. Memorizzala bene, cerca di capirne il senso e poi prova ad usarla per dimostrare qualche fatto base, come ad esempio il fatto che $f(P,Q)=-f(Q,P)$.

Una volta che hai fatto ciò puoi passare al concetto di coordinate. L'idea essenziale qua è che quando scegli un sistema di riferimento su uno spazio affine di dimensione $n$, lo spazio "diventa" lo spazio affine $\mathbb A^n(K)$, dove $A=K^n$ come insieme, $V=K^n$ come spazio vettoriale e \(f((x_1,\ldots,x_n),(y_1,\ldots,y_n))=(y_1-x_1,\ldots,y_n-x_n)\). Quando $n=2$ e $K=\mathbb R$, quest'ultimo è proprio il piano cartesiano $\mathbb R^2$.

Un sottospazio affine sempre in $R^2$ perché è (o può essere, non lo so) una retta traslata? Qual è la costruzione grafica?

Il punto chiave è che nello spazio affine $\mathbb A^n(K)$ i sottospazi affini sono esattamente le soluzioni dei sistemi lineari. In altre parole, $S$ è un sottospazio affine di dimensione $m$ se e solo se esistono una matrice $A$ di taglia $(n-m)\times n$ e di rango $n-m$ ed un vettore $B$ tali che $S=\{X\in K^n: AX=B\}$. Adesso mettiti nel caso in cui $n=2$ ed $m=1$, ovvero il caso delle rette nel piano. Ti sto dicendo che una retta è l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare di rango pieno della forma $ax+by=c$. E che forma hanno le soluzioni di questo sistema lineare? Beh data una soluzione particolare $(x_0,y_0)$, le altre hanno tutte la forma $(\overline{x},\overline{y})+(x_0,y_0)$ al variare di $(\overline{x},\overline{y})$ nel nucleo della matrice $(a\quad b)$. Graficamente cosa significa questo? Il nucleo di quella matrice è un sottospazio vettoriale di dimensione $1$, ovvero una retta che passa per l'origine, quando lo sommo ad un punto $(x_0,y_0)$ sto traslando questo sottospazio per quel punto. Ecco perchè una retta nel piano è il traslato di un sottospazio vettoriale.

La nozione di ortogonalità interviene solo quando $K=\mathbb R$ e $V$ è dotato di un prodotto scalare definito positivo, quindi non va mischiata al concetto di spazio affine.


@j18eos: francamente non ho mai capito il senso di tutta questa pappardella sui vettori applicati ed i vettori liberi; non è una critica nei tuoi confronti perchè ho visto diversi testi usare quest'approccio, ma secondo me fa più danni che altro, come tutti i concetti che sono matematicamente artificiosi.

[j18eos]

@hydro Sono d'accordo, ed io preferisco l'uso delle azioni di gruppo per definire gli spazi affini (su un campo); ma avendo scritto quelle note per le studentesse e gli studenti di ingegneria, ho dovuto scegliere quest'approccio doloroso!

[paolo1712]

Grazie per le risposte!
Premetto che non so ancora cosa sia uno spazio affine euclideo; ho iniziato da pochi giorni a studiare Geometria 2 . Quindi qualunque cosa io abbia detto non era certamente intenzionale

Per quanto riguarda la definizione di spazio affine che ho, credo sia quella di cui parli tu.
Dato un K-spazio vettoriale $dimV=n>=0$, si definisce spazio affine su V un insieme non vuoto $A_n$ munito di $f:A_n x A_n -> V$ che soddisfa i due assiomi di spazio affine. (Indicato con $A_n(V,K,f)$)
Da quello che ho inteso, uno spazio affine è una struttura che ad ogni coppia di punti associa un vettore di uno spazio vettoriale.
Quello che ha deformato quello che avevo inteso (spero bene) è stata la definizione di riferimento affine. Il fatto che si possa prendere come origine del riferimento un punto qualunque mi dava l'idea di retta, piano o spazio traslati dal centro "standard"

Il concetto di sottospazio non mi è chiaro.
La definizione che ho è la seguente :
Sia $A_n(V,k,f)$ spazio affine. Siano $A \in A_n , W\subseteqV$. Si definisce sottospazio affine di $A_n$ passante per $A$ di giacitura $W$ l'insieme $S=S(A,W):={P\inA_n:AP \in W}$.

Ora noto che avevo inteso che S fosse formato da tutti i vettori applicati $AP$, invece è un insieme di punti.
Non so come porre correttamente le domande.
Dove si trova A rispetto a W? Sono elementi confrontabili?
In $R^2$, l'insieme dei punti di S è quello che definisce la retta traslata?

[hydro]

Per quanto riguarda la definizione di spazio affine che ho, credo sia quella di cui parli tu.
Dato un K-spazio vettoriale $dimV=n>=0$, si definisce spazio affine su V un insieme non vuoto $A_n$ munito di $f:A_n x A_n -> V$ che soddisfa i due assiomi di spazio affine. (Indicato con $A_n(V,K,f)$)
Da quello che ho inteso, uno spazio affine è una struttura che ad ogni coppia di punti associa un vettore di uno spazio vettoriale.

Esattamente.

Quello che ha deformato quello che avevo inteso (spero bene) è stata la definizione di riferimento affine. Il fatto che si possa prendere come origine del riferimento un punto qualunque mi dava l'idea di retta, piano o spazio traslati dal centro "standard"

Guarda è un po' la stessa cosa che succede con gli spazi vettoriali. Un $K$-spazio vettoriale di dimensione $n$ è un insieme astratto di oggetti chiamati vettori. Quando scegli una base, i tuoi vettori "diventano" $n$-uple di elementi di $K$, dove "diventano" è un concetto che si può formalizzare matematicamente. Quindi, devi pensare ad uno spazio vettoriale come un insieme di $n$-uple di elementi di $K$ con qualche strana proprietà? No, devi pensarlo come una struttura astratta con le sue regole, che una volta fissata una base diventa $K^n$. Tanto quanto uno spazio affine, scelto un sistema di riferimento, diventa quello che già conosci.

Il concetto di sottospazio non mi è chiaro.
La definizione che ho è la seguente :
Sia $A_n(V,k,f)$ spazio affine. Siano $A \in A_n , W\subseteqV$. Si definisce sottospazio affine di $A_n$ passante per $A$ di giacitura $W$ l'insieme $S=S(A,W):={P\inA_n:AP \in W}$.

Dato uno spazio affine $(A,V,f)$ e dato un punto $P\in A$ ed un vettore $v\in V$, il traslato di $P$ mediante $v$, denotato con $t_v(P)$, è, per definizione, l'unico punto $Q\in A$ tale che $f(P,Q)=v$. Se ti metti in un contesto che conosci tipo $\mathbb R^2$ o $\mathbb R^3$ l'interpretazione grafica è chiara. Che cos'è un sottospazio affine? Fissa un sottospazio vettoriale $W$ di $V$ ed un punto $P\in A$; il sottospazio affine che passa per $A$ e di giacitura $W$ è l'insieme di tutti i punti di $A$ che sono traslati di $P$ mediante un vettore di $W$. In simboli, $\{Q\in A: \exists w\in W \mbox{ t.c. }Q=t_w(P)\}$.

[paolo1712]

Dato uno spazio affine $(A,V,f)$ e dato un punto $P\in A$ ed un vettore $v\in V$, il traslato di $P$ mediante $v$, denotato con $t_v(P)$, è, per definizione, l'unico punto $Q\in A$ tale che $f(P,Q)=v$. Se ti metti in un contesto che conosci tipo $\mathbb R^2$ o $\mathbb R^3$ l'interpretazione grafica è chiara. Che cos'è un sottospazio affine? Fissa un sottospazio vettoriale $W$ di $V$ ed un punto $P\in A$; il sottospazio affine che passa per $A$ e di giacitura $W$ è l'insieme di tutti i punti di $A$ che sono traslati di $P$ mediante un vettore di $W$. In simboli, $\{Q\in A: \exists w\in W \mbox{ t.c. }Q=t_w(P)\}$.

Quindi detto brutalmente, sempre considerando il caso di $R^2$ e magari un sottospazio del tipo $W=<v>\subsetR^2$, non faccio altro che prendere tutti i vettori generati da $v$ e spostarli su una retta parallela passante per $A$?
Cioè mi metto in $A$(punto) e sfruttando tutti i vettori generati da <v>, trovo un'unico punto $P$ che è un traslato di $A$ tramite ogni vettore $u\in<v>$ tale che $vec(AP)$ è a tutti gli effetti un vettore generato da $<v>$?
Perdona l'assenza totale di formalismo ma vorrei prima afferrare il concetto

[hydro]

Quindi detto brutalmente, sempre considerando il caso di $R^2$ e magari un sottospazio del tipo $W=<v>\subsetR^2$, non faccio altro che prendere tutti i vettori generati da $v$ e spostarli su una retta parallela passante per $A$?

No. Prendi punto $P$ di $\mathbb R^2$ e guardi tutti i traslati di $P$ mediante un multiplo di $v$. Quello è il sottospazio affine di origine $P$ e giacitura $\langle v \rangle$.

Fai un esempio esplicito: $P=(1,1)$ e $v=(1,0)$. I multipli di $P$ sono i vettori della forma $(a,0)$ al variare di $a\in \mathbb R$, quindi i traslati di $P$ mediante multipli di $P$ sono i punti della forma $(1+a,1)$. L'insieme di questi punti altro non è che la retta $y=1$.

[paolo1712]

Ok ora con l'esempio penso di aver capito. Ti ringrazio per il tuo tempo @hydro !