No, quello è certo: sostituendo ho compreso che ottengo lo stesso insieme (però a meno di parametri distinti), la domanda che mi ponevo era piuttosto:
Siccome dal secondo metodo ho che ${(x1,x2,x3)∣2x_1 + x_2 + 3x_3=0}$ (*) il fatto che la terza riga del sistema seguente
$y_1 = x_2 - x_3$
$y_2 = x_1 + x_2$
che sostituita nella terza fornisce la soluzione $2x_1 + x_2 + 3x_3=0$ identica a quella del secondo metodo.
sia proprio identica alla caratteristica definente l'insieme, ossia $2x_1 + x_2 + 3x_3=0$ (**), mi permette di capire che l'insieme definito da quelle tre equazioni è identico proprio perché ho la terza equazione uguale?
In realtà a me parrebbe di no, così su due piedi, perché ho solo la terza equazione uguale ma andando a sostituirla a ritroso nella 1° e 2° equazione mica è detto che gli x1, x2, x3 che trovo vadano a definire il medesimo insieme (*).
Detto malamente mi sembra solo una botta di c. che ho per terza equazione proprio quella (**), ma non posso concludere granché.