Esercizio controimmagine che non mi funziona tanto bene

[nocciolodeldiscorso]

No, quello è certo: sostituendo ho compreso che ottengo lo stesso insieme (però a meno di parametri distinti), la domanda che mi ponevo era piuttosto:

Siccome dal secondo metodo ho che ${(x1,x2,x3)∣2x_1 + x_2 + 3x_3=0}$ (*) il fatto che la terza riga del sistema seguente

$y_1 = x_2 - x_3$
$y_2 = x_1 + x_2$

che sostituita nella terza fornisce la soluzione $2x_1 + x_2 + 3x_3=0$ identica a quella del secondo metodo.

sia proprio identica alla caratteristica definente l'insieme, ossia $2x_1 + x_2 + 3x_3=0$ (**), mi permette di capire che l'insieme definito da quelle tre equazioni è identico proprio perché ho la terza equazione uguale?

In realtà a me parrebbe di no, così su due piedi, perché ho solo la terza equazione uguale ma andando a sostituirla a ritroso nella 1° e 2° equazione mica è detto che gli x1, x2, x3 che trovo vadano a definire il medesimo insieme (*).
Detto malamente mi sembra solo una botta di c. che ho per terza equazione proprio quella (**), ma non posso concludere granché.

[ingres]

In questo caso ti direi invece di SI, perchè in pratica il primo metodo definisce un piano nello spazio in forma parametrica e il secondo in forma diretta, ma se elimini i parametri dal primo e ottieni il secondo vuol dire che si tratta dello stesso piano.

Per cui sempre ricorrendo all'analogia geometrica e facendo un esempio più semplice di una retta nel piano se si ha x=t e y =2t e la retta y=2x è evidente che eliminando la t dalla prima rappresentazione e ottenendo la seconda concludo che sono uguali.

Questo è vero se le due rappresentazioni si riferiscono ad un insieme di pari dimensioni, ma non in generale perchè bisogna stare attenti a cosa si sta considerando. Se ci riferiamo allo spazio e prendiamo x=t, y=2t, z=t e y=2x non è vero che si tratta di due insiemi uguali. Il primo è una retta mentre il secondo è un piano.

[nocciolodeldiscorso]

Non ci avrei mai pensato senza il tuo aiuto, ma direi che ora credo di aver ben compreso: in pratica il primo metodo è proprio una eliminazione dei parametri e l'equazione che trovo è quella del piano, che è per ovvie ragioni la stessa del secondo metodo che è appunto la rappresentazione cartesiana (e non parametrica).

Ok mi pare di esseri ora sul senso, spero di non aver farneticato . grazie mille!

PS: che poi ovviamente valeva il discorso inverso dalla cartesiana qui passavo alla parametrica:

${x⃗ ∈RR^3∣−2x1−x2−3x3=0}={(x_1,-2x_1-3x_3,x_3)}$, e parametrizzando: ${(t,-2t-3s,s)}$

Devo dire che non avevo chiarissime queste cose, ora mi sembra di aver compreso molto a riguardo. grazie ancora.

Era un esercizio stupido ma credo di aver imaprato molte cose grazie ai tuoi spunti!