Ciao,
c'è un esercizio che non riesco a capire perché non mi torni. Ho la mia bella applicazione lineare:
$f: RR^3 -> RR^3$, $f(x_1,x_2,x_3)=(x_2-x_3, x_1+x_2, x_1-x_3)$ e assumiamo il sottospazio $Z={(y_1, y_2, y_3)| 2y_1-3y_2+y_3=0}$. Si chiede di trovare $f^-1(Z)$
SOL:
Primo metodo
$f^-1(Z)={vecx in RR^3|f(vecx)in Z}$
Allora ho pensato che equivale a dire:
$f^-1(Z)={vecx in RR^3|∃vecyinZ|f(vecx)=vecy}$
Ora, cosa vuol dire $∃vecyinZ$? Beh dalla definizione di Z (vuol dire) che sono vettori di R3 del tipo:
$(y_1, y_2, -2y_1+3y_2)$ e gli $f^-1(Z)$ saranno quelle x per cui il relativo f(x) verifica l'uguaglianza con questi "y", quindi:
$(x_2-x_3,x_1+x_2, x_1-x_3)=(y_1, y_2, -2y_1+3y_2)$
da cui il sistema in 3 eq.:
$x_2-x_3=y_1$
$x_1+x_2=y_2$
$x_1-x_3=-2y_1+3y_2$
e guardando y1, y2 y3 in veste di parametri, risolvendo in x1,2,3, non viene proprio fuori il risultato che vorrei.
Secondo metodo
Infatti se lo risolvessi così:
$f^-1(Z)={vecx in RR^3|f(vecx)in Z}$
Ora, $f(vecx)in Z$ sse (da definizione di Z) $(x_2-x_3, x_1+x_2, x_1-x_3)=(y_1,y_2,y_3)$ è tale che
$2y_1-3y_2+y_3=0$, ossia mettendo assieme si ha: $2(x_2-x_3)-3(x_1+x_2)+(x_1-x_3)=0$.
Quindi: $f^-1(Z)={vecx in RR^3|2(x_2-x_3)-3(x_1+x_2)+(x_1-x_3)=0}={vecx in RR^3|-2x_1-x_2-3x_3=0}$
[oss: non corrisponde al risultato del primo metodo da me adottato]
La mia domanda è quindi: ma per quale diamine di motivo il primo modo non è congruente col risultato del secondo? I passi svolti nel primo mi sembrano tutti più che leciti! Non capisco l'errore dove sia