${0, 1}$ è aperto in $QQ$?

[andreadel1988]

${0, 1}$ è aperto in $QQ$?
No, supponiamo per assurdo che ${0,1}$ sia aperto in $QQ$ ma allora $EEA$ aperto di $RR$ tale che ${0,1}=AnnQQ$. In particolare $EEa,b,c,dinRR$ tale che $0in(a,b)subeA$ e $1in(c,d)subeA$, per cui $(0,b)subeA$, $(c,1)subeA$. Se $(0,b)nn(c,1)=∅$ allora $1notin(0,b)$. Per densità di $QQ$ $EEqinQQ$ tale che $qin(0,b)$, per cui $qinA,q!=0,q!=1$. Se invece $(0,b)nn(c,1)!=∅$ allora $(0,1)subeA$, sempre per densità di $QQ$ $EEqinQQ$ tale che $qin(0,1)$, per cui $qinA,q!=0,q!=1$. Quindi in entrambi i casi si ha che ${0,1}=AnnQQsube{0,1,q}$ assurdo.

[the gypsy]

Mi intrometto (ho bisogno di ripassare).

Suppongo che \(\displaystyle \{0,\ 1\} \) sia da considerare come insieme di due elementi. Allora procedendo insiemisticamente ottengo:

\(\displaystyle \mathbb Q \setminus \{0,\ 1\} \ =\ \mathbb Q \setminus \left( \{0\} \cup \{ 1\} \right) \ =\ \left( \mathbb Q \setminus \{0\} \right )\cap \left(\mathbb Q \setminus \{1\} \right)\ \)

essendo un punto (singoletto) un insieme chiuso, allora il suo complementare è aperto e l'intersezione insiemistica di un numero finito di aperti è ancora un insieme aperto.

Quindi, essendo il complementare di \(\displaystyle \{0,\ 1\} \) in \(\displaystyle \mathbb Q \) un insieme aperto, \(\displaystyle \{0,\ 1\} \) è un insieme chiuso.

o no? ....


p.s. mi sono basato sull'equivalenza delle due tavole della verità di \(\displaystyle P \iff Q \) e \(\displaystyle \overline P \iff \overline Q \), per il fatto che un insieme è chiuso se e solo se (per definizione) il suo complementare è aperto.

[Martino]

The gypsy, quello che hai dimostrato è che ${0,1}$ è chiuso, ma dovevi dimostrare che non è aperto. Il fatto che un insieme sia chiuso non implica che non sia aperto. Per esempio $QQ$ è sia chiuso che aperto in se stesso.

[the gypsy]

Giusto.
Ma in questo modo non ho dimostrato qualcosa di più forte?


p.s. Ho visto che nel sito ci sono diversi appunti (veri e propri libri) per le scuole secondarie. C'è qualcosa anche per la facoltà di matematica? La laurea ce l'ho già, ma devo rinfrescarmi su tutto e i miei libri sono tutti cartacei, non posso portameli tutti dietro.

[Martino]

Giusto.
Ma in questo modo non ho dimostrato qualcosa di più forte?

No, hai dimostrato una cosa diversa.

[andreadel1988]

Solo una domanda, ma il mio ragionamento va bene oppure ho sbagliato qualcosa (a me sembra corretto ma non si sa mai faccia deduzione sbagliate per distrazione o altro)?

[andreadel1988]

essendo un punto (singoletto) un insieme chiuso

Attento questa affermazione vale per ogni punto solo se lo spazio topologico è T1, in questo caso $QQ$ è T1 quindi va bene (non so se non so se lo hai tralasciato per "banalità" o perchè non te lo ricordavo perciò nel caso te lo dico, chiedo venia se lo sapevi e non l hai specificato per banalità)

[Martino]

Solo una domanda, ma il mio ragionamento va bene oppure ho sbagliato qualcosa (a me sembra corretto ma non si sa mai faccia deduzione sbagliate per distrazione o altro)?

Potrebbe andar bene ma scrivi troppe cose. È più semplice osservare che $U=A-{0,1}$ è aperto (stai togliendo due punti, che sono chiusi) e non vuoto (perché ${0,1}$ non è aperto in $RR$, dato che non contiene intervalli aperti) e quindi $U nn QQ ne emptyset$ per densità, assurdo.

[the gypsy]

essendo un punto (singoletto) un insieme chiuso

Attento questa affermazione vale per ogni punto solo se lo spazio topologico è T1, in questo caso $ QQ $ è T1 quindi va bene (non so se non so se lo hai tralasciato per "banalità" o perchè non te lo ricordavo perciò nel caso te lo dico, chiedo venia se lo sapevi e non l hai specificato per banalità)

Sì sì, lo sapevo. Comunque fai bene a ricordarmelo (just in case) non mi offendo di certo per questo. Mi sono iscritto al forum per aiutare ed essere aiutato di riflesso. La topologia si studia all'università e si insegna all'università e basta, pertanto mi è finita letteralmente nel dimenticatoio. Questo è praticamente l'unico forum dove si discute anche di topologia come si fa a Matematica.

Ok, allora devo ripassarmi un po' di cose. Intanto comincio ad circoscrivere le mie lacune.

[andreadel1988]

osservare che $U=A-{0,1}$ è aperto (stai togliendo due punti, che sono chiusi)

Ah non sapevo che togliendo a un aperto un chiuso ottenevo ancora un aperto ma effettivamente è equivalente a intersecare l'aperto con il complementare del chiuso, che è aperto, e quindi mi viene un intersezione di aperti che è aperta.