Sottospazio affine di $RR^n$ omeomorfismi

[andreadel1988]

Sia $WsubeRR^n$ un sottospazio affine di dimensione $k$. Si dimostri che $W$ è omeomorfo a $RR^k$. Si dimostri che $RR^n\\W$ è omeomorfo a $S^(n−1−k)xxRR^(k+1)$.

Con una traslazione (che è un omeomorfismo), possiamo supporre che $W$ passi per l’origine e con un automorfismo lineare (ancora un omeomorfismo) possiamo supporre che le $k$ coordinate di $W$ siano le ultime $k$ in $RR^n$. Per cui $W$ è omeomorfo a $RR^k$. Ma allora $RR^n\\W$ è omeomorfo a $(RR^(n-k)\\{(0,...,0)})xxRR^k$. Ma $RR^(n-k)\\{(0,...,0)}$ è omeomorfo a $S^(n−1−k)$. Per cui $RR^n\\W$ è omeomorfo a $S^(n−1−k)xxRR^k$.

[j18eos]

Mi manca il passaggio logico con cui affermi che \(\mathbb{R}^n\setminus W\) è omeomorfo a tutta la pappardella al séguito...

[andreadel1988]

Mi manca il passaggio logico con cui affermi che \(\mathbb{R}^n\setminus W\) è omeomorfo a tutta la pappardella al séguito...

Ok faccio il passaggio: $(RR^(n-k)\\{(0,...,0)})xxRR^k=(RR^(n-k)xxRR^k)\\({(0,...,0)}xxRR^k)=RR^n\\({(0,...,0)}xxRR^k)$
Appena ho tempo scrivo la seocnda parte.

[j18eos]

Sì, mi trovo su tutto!

[otta96]

Ti manca un $+1$ alla fine.

[andreadel1988]

Ti manca un $+1$ alla fine.

Ah si grazie.