Logaritmo complesso

[andreadel1988]

Consideriamo la funzione $f : CC^**->CC$ data da $f(\rhoe^(i\theta)) = log(\rho)+itheta$ per ogni $\rhoin(0, +infty)$ e $\thetain[0, 2pi)$, è continua?

Allora sapevo che non fosse continua perchè c'è un salto da $0$ a $2pi$ per quanto riguarda l'asse reale negativo si ha una salto di $2pi$ per quanto riguarda la parte immaginaria di $f(\rhoe^(i\theta)) $, ma non ho ben capito come mai e come dimostrarlo (possibilmente topologicamente). Qualcuno mi sa dire?

[megas_archon]

E' lo stesso argomento dell'altro thread, quella $f$ dovrebbe essere una sezione continua dell'esponenziale, cioè della solita mappa di rivestimento \(\mathbb C\to\mathbb C^\times\), e questa non può esistere.

[andreadel1988]

E' lo stesso argomento dell'altro thread, quella $f$ dovrebbe essere una sezione continua dell'esponenziale, cioè della solita mappa di rivestimento \(\mathbb C\to\mathbb C^\times\), e questa non può esistere.

Intendi quindi che non esiste alcuna funzione continua $f : CC^** → CC$ tale che $e^f(z) = z$ per ogni $zinCC^**$.
Ma posso dimostrarlo come ho fatto nell'altro thread ?(in effetti qui il gruppo fondamentale di $CC$ è banale poichè $CC$ è convesso mentre quello di $CC^**$ è $ZZ$ poichè con una retrazione per deformazione (o equivalenza omotopica) da $CC^**$ mi riconduco a $S^1$, quindi la situazione è simile a quella dell'altro tread).Perchè le sezione di cui parli tu non so cosa siano.

[andreadel1988]

Mentre quale può essere una funzione continua da $f:CC\\RR_{<=0}->CC$ tale che $e^(f(z))=z$ per ogni $zinCC\\RR_{<=0}$? (ad esempio $ f(\rhoe^(i\theta)) = log(\rho)+itheta $ definita come prima potrebe andare bene?)

[megas_archon]

E' lo stesso argomento dell'altro thread, quella $f$ dovrebbe essere una sezione continua dell'esponenziale, cioè della solita mappa di rivestimento \(\mathbb C\to\mathbb C^\times\), e questa non può esistere.

Intendi quindi che non esiste alcuna funzione continua $f : CC^** → CC$ tale che $e^f(z) = z$ per ogni $zinCC^**$.
Ma posso dimostrarlo come ho fatto nell'altro thread ?(in effetti qui il gruppo fondamentale di $CC$ è banale poichè $CC$ è convesso mentre quello di $CC^**$ è $ZZ$ poichè con una retrazione per deformazione (o equivalenza omotopica) da $CC^**$ mi riconduco a $S^1$, quindi la situazione è simile a quella dell'altro tread).Perchè le sezione di cui parli tu non so cosa siano.

Sì, a risolvere questo tipo di problemi sono sempre degli argomenti di funtorialità: se una mappa continua è un rivestimento induce un mono tra i gruppi fondamentali, e quindi per il rivestimento universale di uno spazio non possono esserci sezioni continue -è circa l'inizio della teoria di Galois dei rivestimenti.