Retta reale estesa successioni convergenti a $+infty$

[andreadel1988]

Consideriamo due elementi distinti $+infty$ e $−infty$ che non sono numeri reali. Si consideri l’insieme $\bar RR=RRuu{−infty, +infty}$. Sia $\tau$ la topologia euclidea di $RR$. Si considerino i seguenti insiemi:

$A_{+infty}={Asube\barRR|+inftyinA, −inftynotinA, AnnRRin\tau , EEainRR : AnnRRsupe(a, +infty)}$
$A_{-infty}={Asube\barRR|+inftynotinA, −inftyinA, AnnRRin\tau , EEainRR : AnnRRsupe(-infty,a)}$
$A_{+-infty}={Asube\barRR|+inftyinA, −inftyinA, AnnRRin\tau , EEainRR^+ : AnnRRsupe(-infty,-a)uu(a, +infty)}$
Si ponga $\bar \tau= \tau uuA_{+infty}uuA_{-infty}uuA_{+-infty}$.
Si ha che $\bar \tau$ è una topologia su $\bar RR$ e $A_{+infty}uuA_{+-infty}$ è l’insieme degli intorni aperti di $+infty$ in $(\bar RR,\bar \tau)$. Si provi che una successione di numeri reali $(x_n)$ converge a $+infty$ nello spazio topologico $(\bar RR,\bar \tau)$ se e solo se diverge a $+infty$ nel senso di Analisi 1.

Dire che una successione di numeri reali $(x_n)$ converge a $+infty$ nello spazio topologico $(\bar RR,\bar in\tau)$ è equivalente a dire che $AAU$ intorno aperto di $+infty$ di $(\bar RR,\bar \tau)$ $EE\bar ninNN$ tale che $AAn>\bar n$ vale che $x_ninU$, mentre $x_n$ diverge a $+infty$ nel senso di Analisi 1 è equivalente a dire che $AAkinRR$ $EE\bar ninNN$ tale che $AAn>\bar n$ vale che $x_n>k$.

Supponiamo che $AAU$ intorno aperto di $+infty$ di $(\bar RR,\bar \tau)$ $EE\bar ninNN$ tale che $AAn>\bar n$ vale che $x_ninU$ , per quanto detto prima $AAkinRR$ si ha che $(k,+infty)uu{+infty}$ è un intorno aperto di $+infty$ di $(\bar RR,\bar \tau)$ per cui $EE\bar ninNN$ tale che $AAn>\bar n$ vale che $x_nin(k,+infty)uu{+infty}$, ma siccome $x_n$ è reale allora $x_nin(k,+infty)$, quindi si ha che $x_n>k$, mettendo tutto assieme si ha che $AAkinRR$ $EE\bar ninNN$ tale che $AAn>\bar n$ vale che $x_n>k$.
Supponiamo ora che $AAkinRR$ $EE\bar ninNN$ tale che $AAn>\bar n$ vale che $x_n>k$. Sia $U$ intorno aperto di $+infty$ di $(\bar RR,\bar \tau)$, allora $UinA_{+infty}$ oppure $UinA_{+-infty}$, quindi in particolare $EEainRR$ tale che $UnnRRsupe(a,+infty)$ oppure $EEainRR^+$ tale che $AnnRRsupe(-infty,-a)uu(a, +infty)$, ma $EE\bar ninNN$ tale che $AAn>\bar n$ vale che $x_nin(a,+infty)$, per cui $x_ninU$, mettendo tutto assieme si ha che $AAU$ intorno aperto di $+infty$ di $(\bar RR,\bar \tau)$ $EE\bar ninNN$ tale che $AAn>\bar n$ vale che $x_ninU$