Complanarità di 4 punti e determinante

[Biagio2580]

Ciao ragazzi , sto studiando i vantaggi delle coordinate omogenee, e uno di questi è la complanarità di 4 punti , ovvero che :4 punti sono complanari se tutti appartengono allo stesso piano . Nello specifico , nella spiegazione , mi viene detto che : se il \( det\neq 0 \) , il sistema è di Cramer , quindi : \( \exists ! \) soluzione che è il vettore nullo, che geometricamente non ha significato in coordinate omogenee, e di conseguenza il determinante deve essere uguale a 0 per avere almeno un piano. Premetto che ho studiato la parte dei determinanti , ma associata ai sistemi lineari , e in quel caso , se il \( det\ne 0 \) , ed era di Cramer , esistevano soluzioni , che potevano essere diverse dal vettore nullo. Potreste spiegarmi il collegamento del determinante in questa parte della geometria , e perchè se il \( det\ne 0 \) la soluzione è il vettore nullo , e di conseguenza se il \( det= 0 \) allora esiste almeno un piano ? Spero di essere stato chiaro , grazie in anticipo!

[j18eos]

Ma stai ragionando in uno spazio proiettivo?

P.S.: Gabriel Cramer è stato un matematico francese...

[Biagio2580]

Nel piano ampliato proiettivamente e complesso, comunque si , so che deriva dal matematico Cramer.

[Martino]

Prendi 4 punti A,B,C,D nello spazio. Dire che questi 4 punti fanno parte di uno stesso piano è equivalente a dire che uno dei tre vettori AB, AC, AD è combinazione lineare degli altri due, in altre parole il determinante della matrice che li ha come colonne si annulla.

[Biagio2580]

Grazie mille Martino!!!