Si consideri il seguente sottoinsieme di $RR^2$:
$X={(x,sin(1/x)}inRR^2|x in(0,+infty)}uu{0}xx[-1,1]$
Sia $alpha: [0, 1]->X$ una funzione continua tale che $alpha(0)=(0, 0)$. Si considerino le due proiezioni $pr_1:RR^2->RR$ e $pr_2:RR^2->RR$ e si ponga $alpha_i= pr_i\circalpha: [0, 1]->RR$ per $i = 1,2$. Si ponga $E = alpha_1^-1(0)$. Si ha che $E$ è non vuoto ed è chiuso in $[0,1]$. Si dimostri che per ogni $t_0inE$, esiste $epsilon>0$ tale che $(t_0 − epsilon, t_0 + epsilon)nn[0, 1]subeE$.
Allora la dimostrazione riportata dal testo è questa:
Poichè $alpha_2$ è continua e $alpha_2(t_0) = 0$, esiste $epsilon>0$ tale che $(t_0 − epsilon, t_0 + epsilon)nn[0, 1]subealpha_2^-1($ $(-1/2,1/2))$, cioè per ogni $tin(t_0 − epsilon, t_0 + epsilon)nn[0, 1]$ vale $abs(alpha_2(t))<1/2$. Supponiamo per assurdo che esista $t_1in(t_0 − epsilon, t_0 + epsilon)nn[0, 1]\\E$ , cioè $t_1in(t_0 − epsilon, t_0 + epsilon)nn[0, 1]$ tale che $alpha_1(t_1)!=0$. Quindi $alpha_1(t_1)> 0$. Si hanno 2 casi: $t_1 > t_0$ o $t_1 < t_0$. Consideriamo solo il primo caso $t_1 > t_0$. Per $n$ intero sufficientemente grande si ha $pi/2+2pin>1/(alpha_1(t_1))$, cioè $0 < (pi/2+2pin)^(−1) < alpha_1(t_1)$. Poichè $alpha_1$ è continua, per il teorema dei valori intermedi si ha $alpha_1($ $[t_0, t_1]) = [0, alpha_1(t_1)]$, quindi esiste $t_2in(0, t_1)$ tale che $alpha_1(t_2)= (pi/2+2pin)^(−1)$. Poichè $alpha(t_2)inX$, deve essere $alpha_2(t_2) = sin(pi/2+2pin) = 1 >1/2$, che è un assurdo.
Però due cose non mi sono chiare:
(1) perchè $alpha_2(t_0) = 0$? Non potrei avere tipo che $alpha(t_0) =(0,1)$ dove appunto $alpha_1(t_0) = 0$ (e quindi $t_0inE$) ma $alpha_2(t_0) = 1!=0$?
(2) Quando dice: "per il teorema dei valori intermedi si ha $alpha_1($ $[t_0, t_1]) = [0, alpha_1(t_1)]$, quindi esiste $t_2in(0, t_1)$ tale che $alpha_1(t_2)= (pi/2+2pin)^(−1)$", non capisco bene, nel senso che il teorema dei valori intermedi ci dice che siccome $alpha_1(t_0)=0$ allora $alpha_1$ assume tutti i valori tra $[0,alpha_1(t_1)]$ ma non è detto che $alpha_1($ $[t_0, t_1]) = [0, alpha_1(t_1)]$ (ad esempio potrei avere un $t_3in(t_0,t_1)$ tale che $alpha_1(t_3)>alpha_1(t_1)$, a meno che $alpha_1$ non sia strettamente crescente). Inoltre non capisco perchè poi prende $t_2in(0,t_1)$ quando stava applicando il teorema dei valori intermedi a $(t_0,t_1)$