Identificazione su fibre finite conserva la proprietà di essere T1

[andreadel1988]

Sia $f : X ->Y$ un’identificazione tale che la fibra di ogni punto di $Y$ ha cardinalità finita. Si provi che se $X$ è T1 allora anche $Y$ è T1.

Abbiamo che siccome $X$ è T1 allora ${x}$ è chiuso $AAx inX$. Per cui sia $yinY$ si ha che $f^(-1)(y)=uu_{x inf^(-1)(y)}{x}$ siccome è un unione finita (dato che $f^(-1)(y)$ è finito $AAyinY$) di chiusi allora $f^(-1)(y)$ è chiuso, ma allora usando che $f$ è una identificazione si ha che ${y}$ è chiuso e quindi $Y$ è T1.