Continui topologici

[andreadel1988]

Sia $X$ uno spazio topologico T2 e sia ${A_i}_{iinNN}$ una famiglia numerabile di sottoinsiemi di
$X$, non vuoti, muniti della topologia di sottospazio e tali che $A_isupeA_{i+1}$ per ogni $iinNN$. Si ponga $A_{infty}=nn_{iinNN}A_i$.
(1) Se per ogni $iinNN$ $A_i$ è compatto e connesso, allora si provi che $A_{infty}$ è non vuoto, compatto e connesso.
(2) Se per ogni $iinNN$ $A_i$ è compatto e connesso per archi, allora è vero che $A_{infty}$ è connesso per archi?
(3) Si faccia un esempio della seguente situazione: $X = RR^2$, ogni $A_i$ è chiuso in $RR^2$, non vuoto e connesso per archi, $A_{i+1}subeA_i$ per ogni $i$, e $A_{infty}$ è non vuoto e sconnesso.

Abbiamo che $A_{infty}$ è non vuoto perchè un intersezione di insieme è vuota se e solo se un insieme dell'intersezione è vuoto oppure due insiemi dell'intersezione hanno intersezione nulla, ma in questo caso $A_i$ sono diversi da vuoto e non hanno a due a due intersezione nulla poichè $A_isupeA_{i+1}$. Poi siccome $X$ è T2 e $A_i$ sono compatti, allora sono chiusi di $X$ e quindi $A_{infty}$ è un chiuso di $X$ (poichè intersezione di chiusi), quindi $A_{infty}$ è un chiuso di $A_0$ e quindi un chiuso in un compatto è compatto. Per le restanti domande ho provato ad abbozzare qualche ragionamento (tipo per assurdo) ma non sono riuscito ad arrivare a conclusione, qualcuno mi sa aiutare? Grazie.

[Martino]

$A_{infty}$ è non vuoto perchè un intersezione di insieme è vuota se e solo se un insieme dell'intersezione è vuoto oppure due insiemi dell'intersezione hanno intersezione nulla

Sicuro? Che mi dici dell'intersezione degli intervalli aperti $(0,1/n)$ con $n in NN$?

[andreadel1988]

$A_{infty}$ è non vuoto perchè un intersezione di insieme è vuota se e solo se un insieme dell'intersezione è vuoto oppure due insiemi dell'intersezione hanno intersezione nulla

Sicuro? Che mi dici dell'intersezione degli intervalli aperti $(0,1/n)$ con $n in NN$?

Eh beh hai ragione ahahha, credo che in questo caso gioca il fatto che $A_i$ sono compatti allora (non so bene però come, devo pensarci ahahah).

[Martino]

Cosa ridi

Puoi usare che uno spazio topologico $X$ è compatto se e solo se ogni famiglia di chiusi di $X$ con intersezione vuota ha una sottofamiglia finita con intersezione vuota.

Per vedere l'equivalenza basta che prendi la definizione usuale (coi ricoprimenti aperti) e fai i complementari.

[andreadel1988]

Cosa ridi

Puoi usare che uno spazio topologico $X$ è compatto se e solo se ogni famiglia di chiusi di $X$ con intersezione vuota ha una sottofamiglia finita con intersezione vuota.

Si si, avevo in mente di usare questo che mi porterebbe a un assurdo dato che l'intersezione finita di alcuni $A_i$ è sempre un $A_i$ (quello con indice minore) che non può essere vuoto per ipotesi. (ridevo per non piangere hahaahh). Il problema ora è la connessione, connessione per archi e l'esempio, vedo un po cosa riesco a fare.

[andreadel1988]

Puoi usare che uno spazio topologico $X$ è compatto se e solo se ogni famiglia di chiusi di $X$ con intersezione vuota ha una sottofamiglia finita con intersezione vuota.

Però aspetta $X$ non è compatto in questo caso... tu intendi di vedere la famiglia ${A_i}_{iinNN}$ in $A_0$?

[Martino]

Sì certo li vedi tutti come sottospazi di $A_0$.

[Martino]

Sul punto 2 puoi guardare qui, e sul punto 3 guarda qui.

[andreadel1988]

Sul punto 2 puoi guardare qui, e sul punto 3 guarda qui.

Grazie mille , ora mi manca del punto (1) dimostrare che è connesso