Sia $X$ uno spazio topologico T2 e sia ${A_i}_{iinNN}$ una famiglia numerabile di sottoinsiemi di
$X$, non vuoti, muniti della topologia di sottospazio e tali che $A_isupeA_{i+1}$ per ogni $iinNN$. Si ponga $A_{infty}=nn_{iinNN}A_i$.
(1) Se per ogni $iinNN$ $A_i$ è compatto e connesso, allora si provi che $A_{infty}$ è non vuoto, compatto e connesso.
(2) Se per ogni $iinNN$ $A_i$ è compatto e connesso per archi, allora è vero che $A_{infty}$ è connesso per archi?
(3) Si faccia un esempio della seguente situazione: $X = RR^2$, ogni $A_i$ è chiuso in $RR^2$, non vuoto e connesso per archi, $A_{i+1}subeA_i$ per ogni $i$, e $A_{infty}$ è non vuoto e sconnesso.
Abbiamo che $A_{infty}$ è non vuoto perchè un intersezione di insieme è vuota se e solo se un insieme dell'intersezione è vuoto oppure due insiemi dell'intersezione hanno intersezione nulla, ma in questo caso $A_i$ sono diversi da vuoto e non hanno a due a due intersezione nulla poichè $A_isupeA_{i+1}$. Poi siccome $X$ è T2 e $A_i$ sono compatti, allora sono chiusi di $X$ e quindi $A_{infty}$ è un chiuso di $X$ (poichè intersezione di chiusi), quindi $A_{infty}$ è un chiuso di $A_0$ e quindi un chiuso in un compatto è compatto. Per le restanti domande ho provato ad abbozzare qualche ragionamento (tipo per assurdo) ma non sono riuscito ad arrivare a conclusione, qualcuno mi sa aiutare? Grazie.