identificazione tra [0,1]^3 e S^2xS^1

[Lysithe4]

Ciao, mi sono imbattuta in un esercizio che non so risolvere e vorrei proporvelo; la richiesta è trovare un'identificazione da \[ [0,1]^3 \] a \[ S^2xS^1 \] entrambi muniti della topologia euclidea.
Credo che per l'ultima coordinata sia sufficiente usare $(\cos(2\pi t), \sin(2\pi t))$ (se così non è, correggetemi), mentre mi da' problemi la prima parte dal quadrato alla sfera.

[megas_archon]

Una "identificazione" è un epimorfismo regolare tra spazi topologici, quindi la tesi si riduce a trovare un coequalizzatore
\[X \rightrightarrows Y \to S^2\times S^1\] per una opportuna coppia di mappe parallele \(f,g : X\rightrightarrows Y\).

Sia \(Y=[0,1]^3\) che \(S^2\times S^1\) ora sono spazi compattamente generati e quindi possiamo usare il fatto che (cf. ad esempio qui), dati due epimorfismi regolari \(u : A\to B, v : E\to F\), il loro prodotto \(u\times v : A\times E \to B\times F\) è ancora un epimorfismo regolare.

Quindi, il tuo problema si riduce a trovare un epimorfismo regolare \(u : [0,1]^2\to S^2\) e un epimorfismo regolare \(v : [0,1]\to S^1\); $v$ lo hai già trovato tu, e per trovare $u$ si può presentare \([0,1]^2\) come un disco chiuso \(D^2\) (i due spazi sono chiaramente omeomorfi) e da qui è notorio che \(S^2\cong D^2/\partial D^2\).

[Lysithe4]

Non ci avevo pensato! Grazie mille

[andreadel1988]

L'idea per $S^2$ e quella di mandare il bordo del quadrato in un punto di $S^2$, prova a comporre l'omeomorfismo tra $[0,1]^2$ e $D^2$ e l'identificazione tra $D^2$ e $S^2$ usando che $D^2//S^1$ è omeomorfo a $S^2$

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Omeomorfismo da $[0,1]^2$ a $D^2$: $(x,y)->(max(x,y)x,max(x,y)y,max(x,y)sqrt(1-x^2-y^2))$
Identificazione tra $D^2$ e $S^2$: $(x,y)->(2xsqrt(1-||(x,y)||^2),2ysqrt(1-||(x,y)||^2),2||(x,y)||^2-1)$