Nastro di Mobius T2

[andreadel1988]

Si consideri il quadrato chiuso $X = [0, 1]xx[0, 1]subRR^2$ con la relazione di equivalenza $~$ definita come: $(x_1, y_1)~(x_2, y_2)$ se e solo se $(x_1, y_1) = (x_2, y_2)$ o (${x_1, x_2} = {0, 1}$ e $y_1 + y_2 = 1$). Provare che $X//~$ è T2.
Siccome $X$ è compatto e T2 ci basta mostrare che la proiezione $pi:X->X//~$ è chiusa, ovvero che la saturazione di ogni chiuso di $X$ è chiusa.
Preso $C$ un chiuso di $X$ allora la sua saturazione è $Cuu{(x,y)in{0,1}xx[0,1]| (1-x,1-y)inC}$ ci basta mostrare che ${(x,y)in{0,1}xx[0,1]| (1-x,1-y)inC}$ è chiuso in $[0, 1]xx[0, 1]$ e abbiamo fatto. Consideriamo la funzione $f:{0,1}xx[0,1]->[0, 1]xx[0, 1]$ definita come $f(x,y)=(1-x,1-y)$ è continua per cui $f^-1(C)$ è chiuso in ${0,1}xx[0,1]$, ma $f^-1(C)={(x,y)in{0,1}xx[0,1]| (1-x,1-y)inC}$, inoltre essendo ${0,1}xx[0,1]$ un chiuso di $[0, 1]xx[0, 1]$ si ha che ${(x,y)in{0,1}xx[0,1]| (1-x,1-y)inC}$ è chiuso di $[0, 1]xx[0, 1]$.