Quozienti con azione di un gruppo additivo e di $ZZ$ moltiplicativo

[andreadel1988]

(1) Si fissi un numero reale $a > 0$. Sia $GsubeOmeo(RR)$ il sottogruppo generato dall’omeomorfismo di $RR$ in sé definito da $x->x+a$ per ogni $x inRR$. Si provi che lo spazio topologico quoziente $RR//G$ rispetto a quest’azione è omeomorfo a $S^1$.

(2) Si fissi un numero reale $a > 1$. Si consideri l’azione del gruppo $ZZ$ su $(0, +infty)$ data da $(n,y)->a^ny$ per ogni $ninZZ$, $yin(0, +infty)$. Si provi che lo spazio topologico quoziente $(0, +infty)//ZZ$ rispetto a quest’azione è omeomorfo a $S^1$.


(1) Consideriamo la funzione $f:RR//G->S^1$ definita come $f([x])=e^(2piix/a)$ è continua e biettiva inoltre è chiusa dato che se consideriamo $[0,a]$ contiene un insieme di rappresentati (preso $x inRR$ si ha che $x~x-a\lfloor x/a\rfloorin[0,a]$ ) per cui $pi_{|_[0,a]}:[0,a]->RR//G$ è suriettiva e continua e quindi $RR//G$ è compatto, quindi $f$ va da un compatto a un T2 e quindi è chiusa.

(2)Consideriamo la funzione $g:(0,+infty)->S^1$ definita come $g([x])=e^(2piilog_a(x))$ è continua e biettiva inoltre è chiusa dato che se consideriamo $[1,a]$ contiene un insieme di rappresentati (preso $x in(0,+infty)$ si ha che siccome $a^n->+infty$ per $n->+infty$ e $a^n->0$ per $n->-infty$ allora esiste $ninZZ$ tale che $a^(n-1)<=x<=a^n$ e quindi $x~x/a^(n-1)in[1,a]$ ) per cui $pi_{|_[1,a]}:[1,a]->RR//ZZ$ è suriettiva e continua e quindi $RR//ZZ$ è compatto, quindi $g$ va da un compatto a un T2 e quindi è chiusa.

[Indrjo Dedej]

Forse vuoi dire \([0, a)\) (la parentesi tonda)...

Ti sei preso del tempo per provare cose sulla topologia quoziente, e non usarle sarebbe uno spreco. Puoi prendere in esame la funzione continua e omomorfismo di gruppi \[g : \mathbb R \to \mathbb S^1\,,\ g(x) := e^{2\pi i \frac x a}\] che induce un isomorfismo di gruppi \(\overline g : \mathbb R{/}a\mathbb Z \to \mathbb S^1\) per cui \(g = \overline g \circ p\). Uhm... Perché tutto questo giro? \(G\) è il sottogruppo degli omeomorfismi \(x \mapsto x + ka\) al variare di \(k \in \mathbb Z\). Quindi \(\mathbb R\) è partizionato in orbite che sono proprio quelle classi laterali. Dove eravamo? Ah sì. Quindi \(\overline g\) è un omeomorfismo? (A questo punto basta l'apertura di \(g\)...)

[andreadel1988]

Forse vuoi dire \([0, a)\) (la parentesi tonda)...

No, $[0,a]$ contiene un insieme di rappresentati (infatti contiene $[0,a)$ che è un insieme di rappresentati)

[Indrjo Dedej]

Infatti, errore mio, per questione di compattezza. \([0, a]\) è un sottospazio compatto di \(\mathbb R\) con la topologia euclidea e rimane compatto sotto il quoziente, che in questo caso identifica i due estremi.