Si considerino i seguenti sottoinsiemi di $RR^3$: $X = S^1 xx RR = {(x, y, z)inRR^3| x^2 + y^2 = 1}$, $Z_+ = S^1 xx [1, +infty)$, $Z_−= S^1 xx (−infty, −1]$. Si consideri la relazione di equivalenza $~$ su $X$ definita da: $p~q$ se e solo se ($p = q$) o ($p, qinZ_+$) o ($p, qinZ_−$). Si provi che lo spazio topologico quoziente $X//~$ è omeomorfo a $S^2$.
Ho definito la funzione $f:X//~->S^2$ come
$f($ $[x,y,z])$ $={((xsqrt(1-z^2),ysqrt(1-z^2),z),if zin(-1,1)),((0,0,1),if z in[1,+infty)),((0,0,-1),if z in(-infty,-1]):}$
essa è continua e bigettiva, inoltre siccome $S^1xx[-1,1]$ contiene un insieme di rappresentati per $~$ ed è compatto, allora $X//~$ è compatto, per cui $f$ è chiusa in quanto funzione continua da un compatto a un T2.