Sottospazio di R^3

[Lysithe4]

Ciao, vi inoltro un esercizio datomi dal professore di topologia in cui sto trovando alcune difficoltà: definiti
$\Pi_j={(x,y,z)\in \mathbb{R}^3|z=j}$ e $Z={(x,y,z)\in \mathbb{R}^3|z\in(-1,1), x=y=5}$ (che dovrebbe essere un segmento verticale) viene dato lo spazio $X\subset \mathbb{R}^3$ che è dato da quest'unione
$X={(x,y,z)\in \mathbb{R}^3|x^2+y^2+z^2<1}\cup Z \cup \Pi_1 \cup \Pi_-1 \cup (\cup_{n\in\mathbb{N}, n\ne 0} \Pi_{1+1/n})$
Ho dimostrato che X non è connesso e che $\pi_0(X)$ ha un'infinità numerabile di componenti, mi chiede ora di determinare l'insieme dei punti che hanno un sistema fondamentale di intorni semplicemente connessi e di calcolare $\pi_1(X,x_0)$ in funzione di $x_0$.
Per quanto riguarda la prima richiesta, se non erro, i punti interni alla sfera o al segmento non "vicini" ai piani $z=\pm1$ dovrebbero avere questo sistema, analogamente a quelli sui piani dell'unione numerabile, non riesco però a capire come comportarmi con i punti restanti. Anche per la seconda domanda, il mio problema è praticamente lo stesso, quindi ne deduco di non avere chiarissimo come comportarmi con una figura fatta in questa maniera.
Mi scuso per la lunghezza del messaggio e ringrazio anticipatamente chi vorrà rispondermi

[andreadel1988]

Mi chiede ora di determinare l'insieme dei punti che hanno un sistema fondamentale di intorni semplicemente connessi e di calcolare $\pi_1(X,x_0)$ in funzione di $x_0$.

Chiamiamo $B^3={(x,y,z)|x^2+y^2+z^2<1}$ mentre $B_{epsilon)^3($ $(x_0,y_0,z_0))={(x,y,z)|(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2<epsilon^2}$.
Per l'insieme dei punti che hanno un sistema fondamentale di intorni semplicemente connessi direi che bisogna vedere bene cosa succede nei punti $(0,0,-1),(5,5,-1)$ e su $\Pi_1$ (gli altri punti, $(x_0,y_0,z_0)$, hanno tutti un sistema fondamentale di intorni semplicemente connessi, basta prendere $B_{epsilon)^3($ $(x_0,y_0,z_0))$ con $epsilon$ abbastanza piccolo cosi da non intersecare gli altri insiemi di cui $X$ è unione a cui il punto $(x_0,y_0,z_0)$ non appartiene, questi intorni sono semplicemente connessi perchè sono omeomorfi alle palle in $RR$ o in $RR^2$ o uguali alle palle di $RR^3$). Per quanto riguarda un qualunque punto $(x_0,y_0,z_0)$ di $\Pi_1$ escluso $(0,0,1)$ e $(5,5,1)$ prendi $B_{epsilon)^3($ $(x_0,y_0,z_0))$ con epsilon abbastanza piccolo che non interseca ne $Z$ ne $B^3$ allora $B_{epsilon)^3($ $(x_0,y_0,z_0))nnK$ è l'unione di dischi aperti (che si trovano sui piani $\Pi_1$ e dei $\Pi_{1+1/n}$ con $1/n<epsilon$) perciò vedendo le componenti connesse per archi sono tutte semplicemente connesse. Per quanto riguarda $(0,0,1)$ la situazione è analoga a quella di prima solo che invece di avere un disco aperto su $\Pi_1$ hai un disco aperto unito a un calotta sferica nel punto $(0,0,1)$. per questa componente connessa per archi basta che retrai per deformazione il disco aperto su $(0,0,1)$ e in questo modo ti rimane una calotta sferica che essendo convessa ha gruppo fondamentale banale e quindi in questo caso si ha che è semplicemente connesso (analogamente si ragiona per $(0,0,-1)$) Infine per quanto riguarda $(5,5,1)$ hai ancora una situazione analoga a $\Pi_1$ escluso $(0,0,1)$ e $(5,5,1)$ solo che invece di avere un disco aperto su $\Pi_1$ hai un disco aperto unito a un segmento (aperto nell'altro estremo) per cui, ragionando sulla componente connessa per archi, questo lo retrai per deformazione su $(5,5,1)$ e ti rimane il piano $\Pi_1$ che è convesso quindi gruppo fondamentale banale e quindi in questo caso si ha che è semplicemente connesso (analogamente si ragiona per $(5,5,-1)$).

Il gruppo fondamentale basta che ragioni per componenti connesse per archi:
(1) Sui singoli piani $\Pi_{1+1/n)$ $AAninNN,n!=0$ il gruppo fondamentale è banale poichè sono convessi.
(2) Sull'insieme $K=B^3uuZuu\Pi_1uu\Pi_(-1)$ vedi un po se con qualche equivalenza omotopica riesci a mostrare che è banale (oppure col teorema di van Kampen)

[Lysithe4]

Penso di avere qualcosa di non chiaro nella tua risposta: il mio professore ha definito uno spazio X semplicemente connesso come uno spazio connesso per archi il cui $\pi_1$ sia banale.
Sono d'accordo sul fatto che le componenti connesse per archi di tali intorni siano semplicemente connesse per ovvie ragioni, però allora non capisco come anche l'intorno, che ha più di una componente connessa per archi (seppure ognuna abbia $\pi_1$ banale), possa essere definito semplicemente connesso.

[andreadel1988]

Penso di avere qualcosa di non chiaro nella tua risposta: il mio professore ha definito uno spazio X semplicemente connesso come uno spazio connesso per archi il cui $\pi_1$ sia banale.
Sono d'accordo sul fatto che le componenti connesse per archi di tali intorni siano semplicemente connesse per ovvie ragioni, però allora non capisco come anche l'intorno, che ha più di una componente connessa per archi (seppure ognuna abbia $\pi_1$ banale), possa essere definito semplicemente connesso.

Ok allora direi che su $\Pi_1$ non esiste un sistema fondamentale di intorni semplicemente connessi poichè non è connesso per archi, mentre per $(0,0,-1)$ e $(5,5,-1)$ esiste un sistema fondamentale di intorni semplicemente connessi

[andreadel1988]

(2) Sull'insieme $K=B^3uuZuu\Pi_1uu\Pi_(-1)$ vedi un po se con qualche equivalenza omotopica riesci a mostrare che è banale (oppure col teorema di van Kampen)

Ora che ho avuto più tempo per pensarci ti do un suggerimento: prova a retrarre $B^3$ sul segmento \( \displaystyle \ [\hspace{-1mm}\!\ [\ (0,0,-1),(0,0,1) ]\hspace{-1mm}\!\ ] \) e poi retrai $\Pi_1$ sul segmento \( \displaystyle \ [\hspace{-1mm}\!\ [\ (0,0,1),(5,5,1) ]\hspace{-1mm}\!\ ] \) e retrai $\Pi_(-1)$ sul segmento \( \displaystyle \ [\hspace{-1mm}\!\ [\ (0,0,-1),(5,5,-1) ]\hspace{-1mm}\!\ ] \) , cosa ti esce?

Spoiler sulle retrazioni da fare:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Retrazione di $B^3$ sul segmento \( \displaystyle \ [\hspace{-1mm}\!\ [\ (0,0,-1),(0,0,1) ]\hspace{-1mm}\!\ ] \) : $R((x,y,z),t)=(tx,ty,z)$

Retrazione di $\Pi_1$ sul segmento \( \displaystyle \ [\hspace{-1mm}\!\ [\ (0,0,1),(5,5,1) ]\hspace{-1mm}\!\ ] \) : $R((x,y,z),t)=(x,(1-t)y+tx,z)$ e poi retrai la retta al segmento \( \displaystyle \ [\hspace{-1mm}\!\ [\ (0,0,1),(5,5,1) ]\hspace{-1mm}\!\ ] \)

Retrazione di $\Pi_(-1)$ sul segmento \( \displaystyle \ [\hspace{-1mm}\!\ [\ (0,0,-1),(5,5,-1) ]\hspace{-1mm}\!\ ] \) : $R((x,y,z),t)=(x,(1-t)y+tx,z)$ e poi retrai la retta al segmento \( \displaystyle \ [\hspace{-1mm}\!\ [\ (0,0,-1),(5,5,-1) ]\hspace{-1mm}\!\ ] \)