Una domanduccia sul complemento ortogonale

[pistacios]

Ciao, volevo chiedervi una cosa riguardo un dubbio che mi pongo sul complemento ortogonale.

Premetto che il prodotto scalare che si usa è $tr(A^t*B):= A*B$

Ora,

io ho trovato uno spazio $W={(((2b+3d)/3,b),(0,d))|b,d in RR}$

dato cioè dallo span: $Span(((2,3),(0,0));((1,0),(0,1))):=Span(A_1,A_2)=W$ (*)

E' facile trovare il "v-doppio ortogonale" come: $W^⊥={X in RR^(2,2)|XA_1=0,XA_2=0}$ ove con le A intendo le due matrici dello span (che è anche base) al punto (*)

$XA_1=0,XA_2=0$ si traducono nel sistema di due equazioni:
$2x+3z=0$
$t=-z$

Quello che trovo è $W^⊥=Span(((-3,0),(2,3));((0,1),(0,0)))$ quindi dimensione 2 (ricordiamocelo per dopo)




Detto questo mi incuriosiva capire perché invece quest' altro metodo non funzionasse (ed è questa la mia domanda, perché?):

Io assumo $W={(((2b+3d)/3,b),(0,d))|b,d in RR}$, quindi ogni elemento è del tipo: $(((2b+3d)/3,b),(0,d))$,

il $W^⊥={X in RR^(2,2)|XM=0, M in W}$ e quindi mi basterebbe svolgere:

$MX=0$ cioè esplicitamente: $(((2b+3d)/3,b),(0,d))*((x,y),(z,t))$ (con * prodotto scalare tramite traccia ricordato sopra), da cui esce l'equazione: $(2b+3d)x+zb+td=0$.

Mi aspeterei da questo lavoro che variando i d e b parametri abbia tutti gli elementi di W e quindi mi esca una condizione sugli elementi di $W^⊥$ del tutto analoga a quella del punto precedente, mentre svolgendo i calcoli avrei solo:

$z=(-(2b+3d)x-td)/(3b)$ e quindi la matrice: $((x,y),((-(2b+3d)x-td)/(3b),t))$ che sembrerebbe avere 3 parametri liberi: x,y,t quindi suggerirebbe dimensione 3 mentre la dimensione era 2!

Non capisco perché variando b e d quindi, che dovrebbe essere tutto W non mi dia lo stesso risultato del primo metodo, cosa cambia?
perché quindi variare b e d non riesce a darmi il risultato visto prima?

[megas_archon]

A me pare che \(M(b,d)\cdot X = x \left(\frac{2 b}{3}+d\right)+b y+d t\), che non ti dà alcuna condizione su z.

[pistacios]

Eh già ho fatto un casino coi conti a schermo.
però rimane il dubbio nel senso che ho solo un vincolo dato dall'eq. e quindi avrei x legato a y e con t e z liberi.
Quindi ho y,z,t parametri liberi, il senso del dubbio rimane.

[j18eos]

Potresti iniziare a scrivere una base di \(W^{\perp}\), specificando le "entrate" della generica matrice?

Ancóra, essendo \(\displaystyle\mathbb{R}_2^2=W\oplus W^{\perp}\) è "ovvio" che sia \(\dim W^{\perp}=2\).

[pistacios]

Ciao e grazie per la risposta gentile.
Sìsì certo, quello che dici mi è chiarissimo e l'ho fatto, infatti come dicevo ho trovato: $Span(((2,3),(0,0));((1,0),(0,1))):=Span(A_1,A_2)=W$.
Se poi impongo l'ortogonalità di un x a entrambi i vettori della base trovo due equazioni che mi danno due vincoli e il sistema avrà 2 soli paramentri liberi => l'ortogonale ha base 2 ecc. Benissimo.



Però il mio dubbio è un po' diverso e vorrei provare a fartelo capire così da potermi aiutare meglio.

Volevo cioè procedere con un metodo diverso. Per definizione io ho:

assumo $W={(((2b+3d)/3,b),(0,d))|b,d in RR}$, quindi ogni elemento è del tipo: $(((2b+3d)/3,b),(0,d))$,

il $W^⊥={X in RR^(2,2)|XM=0, M in W}$ e quindi mi basterebbe svolgere:

$MX=0$ per trovare quanto richiesto all'eserzio ($W^⊥$). Ma se noti non funziona e non capisco perché.

Infatti dalla $MX=0$ trovo solo una equazione, quindi un solo vincolo e non 2! Il procedimento non funziona ma non capisco perché dato che ho usato tutto in modo coerente a mio avviso. Non trovo l'errore metodologico, insomma!

[j18eos]

Guarda bene al prodotto scalare...

[pistacios]

Purtroppo sono tonto e non ho capito il suggerimento. Se guardo al prodotto scalare di MX=0 con M $(((2b+3d)/3,b),(0,d))$ io ci vedo solo un vincolo e quindi non riesco a capire come avere due parametri fissati. Servirebbero due equazioni.

[j18eos]

Eccole qua le due equazioni:
\[
\begin{cases}
E_1\cdot X=0\\
E_2\cdot X=0
\end{cases}
\]
ove \(A\cdot B=tr(A\times^tB)\), \(E_1\) ed \(E_2\) sono i generatori di \(W\)!

Continua tu!