Dimensione del nucleo di un applicazione lineare associata ad una matrice a scala per righe

[Daniele_98]

Devo dimostare la seguente proposizione.
Data $S inMat_(m,n) (K)$ matrice a scala per righe.
Se $S^1,...,S^r$ sono le righe non nulle di S $=> f_S: Ker(L_S) ---> K^(n-r)$ ,che associa ad $x=(x_1.....x_n) in Ker(L_S)$ il vettore riga $x$ tolte le sue componenti con indice uguale all'indice colonna dei pivot di S, è un isomorfismo.
Sia $j_1,...,j_r$ rispettivamente l'indice colonna dei pivot della riga $S^1,...,S^r$.
Procediamo per induzione su r.
Per $r=0$ è banale.
Sia $0<r<=m$ e sia $T$ la matrice ottenuta da S sostituendo la riga $S^r$ con una riga nulla $=>$ per l'ipotesi induttiva $f_T: Ker(L_T) ---> K^(n-(r-1))$è un isomorfismo.
Poi, utilizzando il fatto che $Ker(L_S)=Ker(L_T)nn{x inK^n | S^r*x=0}=$ $=Ker(L_T)nn{x inK^n | x_(j_r)=-(s_(r,j_r))^-1\sum_{j=j_r+1}^n x_j*s_(r,j)}$ si dovrebbe dimostare che $f_s$ è un isomorfismo.
Ho già dimostrato che $f_s$ è iniettiva ma mi sono bloccato sulla suriettività.
Qualcuno riesce a darmi una mano?
Grazie