Componenti connesse fra spazi topologici omeomorfi

[andreadel1988]

Siano $X$ e $Y$ due spazi topologici omeomorfi. Allora ogni componente connessa per archi di $X$ è omeomorfa a una componente connessa per archi di $Y$.
Sia $C$ una componente connessa per archi di $X$ allora $f(C)$ è una componente connessa per archi di $Y$, infatti se per assurdo non lo fosse allora $f(C)subA$ dove $A$ è una componente connessa per archi di $Y$ e $Csubf^-1(A)$ sarebbe connesso per archi,assurdo, e quindi $f$ induce un omeomorfismo tra $C$ e $f(C)$.