Grafo

[andreadel1988]

Un teorema dice che: Sia $Γ$ un grafo, sia $e$ un lato di $Γ$, sia $Γ'$ il grafo ottenuto da $Γ$ contraendo il lato $e$ a un punto e sia $c : X_Γ-> X_{Γ'}$ la corrispondente applicazione continua. Se il lato $e$ ha due vertici distinti, allora c è un’equivalenza omotopica.
Però se tipo io considero un triangolo, preso qualunque suo lato ha due vertici distinti, ma se vado a contrarre alla fine verrebbe che il triangolo è omotopicamente equivalente al punto, mentre sappiamo che è omotopicamente equivalente alla circonferenza, quindi non ho capito bene il teorema come funziona... qualcuno mi sa dire? Grazie.

[megas_archon]

Sì, qualcuno ti sa dire.

Se il lato $e$ ha due vertici distinti

La risposta è qui.

[andreadel1988]

Se il lato $e$ ha due vertici distinti

La risposta è qui.

Scusa ma se prendo un triangolo e prendo un suo lato non ha due vertici distinti (dato che è un segmento)?

[megas_archon]

Non hai capito l'enunciato di quello che hai letto, e non hai fatto un disegno di cosa succede.

Prendi un triangolo. Crusha un suo lato. Il risultato è una circonferenza, cioè due segmenti uniti per il bordo. Prendi un altro lato, cioè uno dei due segmenti. Crushalo. Il risultato è una circonferenza, che parte da quello che ora è l'unico vertice, e ci torna. A questo punto non ci sono più lati tra vertici distinti, perché non ci sono più vertici distinti.

[andreadel1988]

Non hai capito l'enunciato di quello che hai letto, e non hai fatto un disegno di cosa succede.

Prendi un triangolo. Crusha un suo lato. Il risultato è una circonferenza, cioè due segmenti uniti per il bordo. Prendi un altro lato, cioè uno dei due segmenti. Crushalo. Il risultato è una circonferenza, che parte da quello che ora è l'unico vertice, e ci torna. A questo punto non ci sono più lati tra vertici distinti, perché non ci sono più vertici distinti.

Ah ok si, e che io facevo erroneamente coincidere anche i due lati quando facevo la contrazione (tipo come se fosse una retrazione per deformazione su un triangolo pieno) invece li devo separare e quindi viene una circonferenza, grazie dell'aiuto.

[megas_archon]

Metto anche la dimostrazione vera: in un complesso di celle 1-dimensionale, una 1-cella il cui bordo è fatto da punti distinti è una mappa continua \(e : D^1 \to \Gamma\) la cui composizione con l'inclusione \(S^0\hookrightarrow D^1\) è iniettiva; ma una tale mappa $e$ è una cofibrazione, e quindi il pushout
\[\begin{CD}
D^1 @>e>> \Gamma \\
@VVV @VVV \\
1 @>>> \Gamma/e
\end{CD}\] è un pushout omotopico, e una conseguenza di questo fatto è che la mappa $D^1\to 1$, che è un'equivalenza omotopica, viene pushata-out nell'equivalenza omotopica \(\Gamma\to \Gamma/e\)

[andreadel1988]

In questa figura:




possono andare bene questi passaggi di omotopicamente equivalenza?:

[megas_archon]

Per l'ultima volta, si dice "equivalenza omotopica". Ho l'impressione che l'Italiano non sia la tua lingua madre.

Comunque, sì, i disegnini sono corretti. Prova a trovare delle condizioni su un multidigrafo per cui esso sia omotopicamente equivalente a una somma wedge di cerchi.

[andreadel1988]

Per l'ultima volta, si dice "equivalenza omotopica". Ho l'impressione che l'Italiano non sia la tua lingua madre.

Mi scusi di nuovo (in effetti la mia lingua madre non è l'italiano ma la matematica )

Comunque, sì, i disegnini sono corretti. Prova a trovare delle condizioni su un multidigrafo per cui esso sia omotopicamente equivalente a una somma wedge di cerchi.

Quando avrò tempo vedrò cos'è un multidigrafo e una somma wedge di cerchi, grazie dello spunto.

[Indrjo Dedej]

Non è difficile. Ogni grafo connesso ha un sotto-grafo contraibile massimale contenente tutte le 0-celle. Questo sotto-grafo è omotopicamente equivalente a un punto. Quello che rimangono sono circonferenze attaccate tutte a un punto. Quante?