Decomposizione in spazi principali

[SelfLearner]

Il teorema da dimostrare afferma che: "Esiste m con 1$<=$m$<=$n tale che l'inclusione: ker($\psi^s$)$sub$ker($\psi^(s+1)$) sia stretta per s<m ed è l'eguaglianza per s$>=$m."

La dimostrazione inizia con l'affermazione: "Poiché le dimensioni del nucleo non possono aumentare indefinitamente, esiste m tale che . . .".

Siccome, in precedenza, non è mai stato trattato il fatto che, aumentando le potenze successive di $\psi$, dovessero aumentare "anche" le dimensioni dei nuclei corrispondenti (e si tratta anche - almeno per me che non posso frequentare - di dimostrazioni molto "formali" e per me scarsamente "intuitive"), mi sarebbe molto utile se qualcuno potesse chiarirmi questo dubbio. Su un'affermazione che viene data per scontata (come ovvia), ma che io non riesco a riscontrare come tale.

P.S.: $\psi$ rappresenta, ovviamente, un generico endomorfismo dello spazio vettoriale V di dimensione n e il teorema di cui ho incluso la tesi viene proposto come "lemma" - intendo premessa - al vero e proprio teorema che dimostra, successivamente, la decomposizione primaria come somma diretta degli spazi principali, propedeutica alla costruzione della forma canonica di Jordan (utile quando una matrice non può essere diagonalizzata soltanto mediante i propri autovalori).

Grazie

[j18eos]

Se \(\underline{v}\in\ker\left(\psi^s\right)\) allora
\[
\psi^{s+1}\left(\underline{v}\right)=\psi\left(\psi^s\left(\underline{v}\right)\right)=\psi\left(\underline{0}\right)=\underline{0}
\]
da cui \(\ker\left(\psi^s\right)\subseteq\ker\left(\psi^{s+1}\right)\), quindi si ottiene una catena ascendente di sottospazi vettoriali di \(\mathbb{V}\); in particolare:
\[
\dim\ker\left(\psi^s\right)\leq\dim\ker\left(\psi^{s+1}\right)\leq\dim\mathbb{V}.
\]

[SelfLearner]

Grazie davvero!!

Se ho compreso bene, hai "semplicemente" dimostrato la "verbalizzazione" - le parole - che ho riferito e che mi "turbava", pensando si riferisse a qualcosa di precedente che, negli appunti, non compare.

In pratica quanto hai stabilito afferma che i nuclei delle potenze successive di un endomorfismo crescono fino a un certo valore, dopo di che si stabilizzano rimanendo eguali.

Quindi, se $\lambda$ è un autovalore, esiste m tale che $ker (\phi^m)$ = $ker (\phi^(m+1))$.

E devo pensare che $N_\lambda$ = $ker (\phi - \lambda)^m$ è lo spazio principale associato all'autovalore $\lambda$ in cui m è il minimo intero per cui vale $ker(phi^m)$ = $ker(phi^(m+1))$.

Poi, studiare bene il teorema della decomposizione primaria che afferma che lo spazio V si decompone come somma diretta degli spazi principali $V$ = $N_(\lambda_1)$+. . . +$N_(\lambda_r)$.

Ma - sempre se ho capito bene - l'idea originale per determinare i vettori delle basi che occorrono per la costruzione delle catene della forma canonica di Jordan si fonda sul fatto dei nuclei che crescono strettamente fino a un certo valore, rimanendo, infine, eguali al crescere della potenza.

[j18eos]

Brevemente: sì ed \(m\) si chiama profondità di \(\lambda\)!

[SelfLearner]

Grazie ancora!!

[j18eos]

Attenzione che quella è una somma diretta e non una somma "semplice"!

[SelfLearner]

Sì, sì, grazie, il concetto spero d'averlo abbastanza chiaro . . . Stavo cercando nelle formule il "simbolo col cerchietto" e, non avendolo trovato, la pigrizia ha prevalso . . .

Infatti, la somma degli autospazi è diretta (come pure nel caso di una matrice diagonalizzabile in cui bastino gli autovettori e non occorrano "autovettori generalizzzati").

[j18eos]

Anche la somma degli autospazi generalizzati è diretta, e si usa il codice

Codice:

\oplus

[SelfLearner]

Nuovamente grazie!!

Vorrei davvero riuscire a capire bene anche la teoria. Gli esercizi su Jordan sono piuttosto macchinosi, ma non davvero difficili. Poi, sbagliare si può sempre . . .

Per ripassare tutto Jordan bene mi occorrerebbe - nelle mie condizioni - l'indicazione di un testo non eccessivamente "formale" (quelli sono per i Colleghi davvero bravi e in regola con i corsi), ma da cui potrei anch'io apprendere sempre più che dagli appunti dei Colleghi. Anche una decente formalizzazione dei concetti.

Peccato che moltissimi tra loro si buttino a fare esercizi all'impazzata, sperando (il che è possibile) di superare bene lo scritto e poter evitare l'orale (dove viene chiesta anche la teoria). Devo ammettere che molti esercizi li sanno davvero fare, però, a volte, pongo domande sulla teoria e non sanno rispondere. Magari, approfondiranno dopo.

[j18eos]

Provate a leggere le note del prof. Manetti La Sapienza?!