Omotopica equivalenza di un sottospazio proiettivo reale

[andreadel1988]

Sia $W$ un sottospazio proiettivo di $\mathbb{P}^n(RR)$ di dimensione $k$. Si provi che $\mathbb{P}^n(RR)\\W$ è omotopicamente equivalente a $\mathbb{P}^(n-k-1)(RR)$.

Siccome $W$ è un sottospazio proiettivo di $\mathbb{P}^n(RR)$ di dimensione $k$ allora $EEXsubeRR^(n+1)$ sottospazio di dimensione $k+1$ (supponiamo che $0inW$ a meno di traslazioni) tale che $W\{0}=pi(X)$ (dove $pi$ è la proiezione sul quoziente), abbiamo che $RR^(n+1)\\W$ è omeomorfo a $S^(n-k-1)xxRR^(k+1)$ ed è omotopicamente equivalente a $S^(n-k-1)$ avevo in mente di mostrare in qualche modo che $W$ è omotopicamente equivalente a $pi(S^(n-k-1))$ e quest'ultimo (usando l'antipodalità di $S^n$ applicata su $S^(n-k-1)$) è omeomorfo a $\mathbb{P}^(n-k-1)(RR)$, ma non so bene come fare, qualcuno mi sa dire, grazie.