Si provi che il complementare di un punto in $S^1xxS^1$ è omotopicamente equivalente al bouquet di $2$ circonferenze $S^1 ∨ S^1$.
Abbiamo che $S^1xxS^1$ è omeomorfo al quoziente $([0, 1]xx [0, 1])/ /∼$ dove $∼$ è la relazione di equivalenza sul quadrato $[0, 1]xx[0, 1]$ generata da $(x, 0) ∼ (x, 1)$ e $(0, y) ∼ (1, y)$ al variare di $x, yin[0, 1]$. A meno di traslazione possiamo considerare il punto interno al quadrato $[0, 1]xx[0, 1]$, così da retrarre tutto sul bordo (osservare che la retrazione lascia equivalenti i punti che erano equivalenti rispetto a $∼$) e ottenere uno spazio omeomorfo a $S^1 ∨ S^1$ (se infatti ci limitiamo a studiare la relazione di equivalenza $∼$ sul bordo di $[0, 1]xx[0, 1]$ si ha qualcosa di omeomorfo al boquet di 2 circonferenze) e quindi otteniamo una equivalenza omotopica con $S^1 ∨ S^1$