Laccio in $S^1$ non omotopo a un cammino costante

[andreadel1988]

Si consideri la funzione $f : [0, 1]->S^1$ data da $f(t) = e^(2piit)$ per ogni $tin[0, 1]$.
La funzione $f$ è omotopa relativamente a ${0, 1}$ a una funzione costante?

La risposta è no. Possiamo vederlo come un applicazione delle classi di equivalenza dei lacci di $S^1$, ovvero due lacci in $S^1$ sono omotopi se "compiono lo stesso numero di giri intorno a $S^1$". Innanzitutto l'unica possibile funzione costante che potrebbe essere omotopa omotopa relativamente a ${0, 1}$ è la funzione identicamente uguale a $(0,1)$. Ma essa compie zero giri intorno a $S^1$ mentre $f$ ne compie $1$ quindi non possono essere omotope. Per mostrarlo formalmente basta osservare che ogni laccio di $(0,1)$ si scrive come $f(tn)$ con $ninNN$ se $f$ fosse omotopa alla funzione costante allora anche $f(tn)$ sarebbe omotopa alla funzione costante per ogni $ninNN$, ovvero starei dicendo che ogni laccio di $(0,1)$ è omotopo a quello costante, e quindi $S^1$ sarebbe contraibile, assurdo.